‹-- Назад
Производная композиции
Пусть
и 
-- такие числовые функции, что определена их композиция 
. Предположим, что функция определена в некоторой окрестности точки 
, а функция -- в некоторой окрестности точки 
. Тогда имеет место следующее утверждение.
Теорема 4.4 Если функция имеет производную 
, а функция -- производную 
, то композиция 
имеет производную
имеет производную , а функция -- производную , то композиция имеет производную 
Доказательство. Рассмотрим приращение функции 
, соответствующее приращению 
переменного 
:
и 
. Так как функция имеет дифференциал в точке 
(см. теорему 4.3), то 
при 
и 
при 
. Раскрываем скобки далее:  | |
 |
Теперь, в соответствии с теоремой 4.3, осталось доказать, что в последней формуле в квадратных скобках стоит величина, бесконечно малая при
. Первое слагаемое 
бесконечно мало, поскольку вообще не зависит от 
, а 
-- бесконечно малая при базе . Во втором слагаемом 
постоянной является величина . Покажем, что 
при . Так как функция имеет производную при 
, то непрерывна в точке , откуда 
и, следовательно, 
при . Поэтому при , по предположению о величине 
. Для третьего слагаемого 
заметим, что , как только что было доказано, есть бесконечно малая и, следовательно, локально ограниченная функция при , а 
-- бесконечно малая. Значит, их произведение также бесконечно мало при . Тем самым, в квадратных скобках стоит сумма трёх бесконечно малых, которая также является бесконечно малой величиной. Теорема доказана.
Замечание 4.9 Мы можем пояснить происхождение формулы (4.13), то есть формулы 
, где 
, записав её в виде 
Эта формула получается предельным переходом из очевидного равенства 
однако такое доказательство формулы (4.13) имеет существенный недостаток, поскольку ниоткуда не следует, что 
при всех 
. Тем не менее, смысл формулы для производной композиции функций при этом, несомненно, проясняется.
, где , записав её в виде при всех . Тем не менее, смысл формулы для производной композиции функций при этом, несомненно, проясняется.
Пример 4.4 Пусть 
, то есть 
, где 
: данная функция представлена в виде композиции функций 
и 
. Тогда для нахождения производной мы можем применить формуду производной композиции. Поскольку 
и 
(нижний индекс мы пишем для напоминания о том, по какой переменной берётся производная), то 
Тот же самый, разумеется, результат мы получим, использовав равенство 
и применив формулу производной произведения: 
Однако первый способ гораздо продуктивнее: совершенно аналогично получаем, например, 
и т. п.
, то есть , где : данная функция представлена в виде композиции функций и . Тогда для нахождения производной мы можем применить формуду производной композиции. Поскольку и (нижний индекс мы пишем для напоминания о том, по какой переменной берётся производная), то и применив формулу производной произведения: Беря в качестве промежуточного аргумента любую дифференцируемую функцию 
, из доказанных ранее формул получаем:
 | |
в частности, | |
 | |
 | |
 | |
 | |
 | |
 | |
в частности, | |
 | |
Пример 4.5 Найдём производную функции 
. Здесь промежуточный аргумент равен 
; 
. Поэтому по формуле 
получаем: 
. Здесь промежуточный аргумент равен ; . Поэтому по формуле получаем:
Пример 4.6 Найдём производную функции 
. Здесь функция имеет вид 
, с промежуточным аргументом 
, который, в свою очередь, является сложной функцией. Поэтому 
. Здесь функция имеет вид , с промежуточным аргументом , который, в свою очередь, является сложной функцией. Поэтому
Пример 4.7 Найдём производные ареа-функций (напомним, что ареа-функции -- это функции, обратные к гиперболическим функциям). Ранее мы записали для них следующие формулы:
Поэтому 
при 
, а 
при 
.
 | |
 | |
(в зависимости от того, что считать главной ветвью функции  ); | |
 | |
 | |
Поэтому
и аналогично:
и аналогично:
Последние две формулы не противоречат друг другу, так как
при , а при .
Упражнение 4.1 Пусть 
-- чётная функция, имеющая производную 
. Докажите, что тогда является нечётной функцией. Наоборот, если -- нечётная функция, докажите, что -- чётная функция.
-- чётная функция, имеющая производную . Докажите, что тогда является нечётной функцией. Наоборот, если -- нечётная функция, докажите, что -- чётная функция. При этом воспользуйтесь тем, что для чётной функции 
, а для нечётной функции 
, и примените правило нахождения производной композиции, с промежуточным аргументом 
.
Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции
