mathserfer.narod.ru

        Пример 4.8   Найдём производную функции . Обратной к этой функции служит главная ветвь функции ( ), производная которой равна . Заметим, что при указанных значениях выполнено неравенство , откуда (корень берём со знаком ). Поэтому по формуле (4.15):         

        Пример 4.9   Аналогично отыщем производную функции . Обратной к служит главная ветвь функции ( ), производная которой равна . Заметим, что при выполнено неравенство , откуда (корень со знаком ). Поэтому по формуле (4.15)

Заметим однако, что тот же результат можно было бы гораздо легче получить, используя тригонометрическую формулу , откуда и     

        Пример 4.10   Найдём производную функции . Обратной к этой функции служит главная ветвь функции ( ), производная которой равна . Поэтому по формуле (4.15)

    

        Пример 4.11   Найдём производную функции . Обратной к этой функции служит главная ветвь функции (), производная которой равна . Поэтому по формуле (4.15)

Конечно, ту же формулу можно было получить из соотношения , откуда и     

        Пример 4.12   Найдём производную функции (). Обратной к ней служит функция , производная которой такова: . Поэтому формула (4.15) даёт

В частности, при получаем

    

        Пример 4.13   Пусть . Заметим, что

по формуле производной композиции (с промежуточным аргументом ). Тогда

    

        Пример 4.14   Аналогично находится производная гиперболического косинуса :

    

        Пример 4.15   Найдём производную гиперболического тангенса . Заметим для начала, что (проверьте!). Далее, имеем:

    

        Пример 4.16   Найдём производную гиперболического котангенса . Имеем:

    

        Упражнение 4.2   Выведите эти же 4 формулы для производных функций , исходя из того, что это -- обратные функции к соответствующим ареа-функциям, производные которых мы уже нашли выше. При этом используйте формулу (4.15).

Обратно, исходя из доказанных формул для производных гиперболических функций, выведите при помощи формулы (4.15) формулы для производных ареа-функций.     

        Пример 4.17   Найдём теперь формулу для производной функции при произвольном вещественном . Некоторые частные случаи (при , ) были нами разобраны выше.

Итак, пусть , , . Запишем функцию в виде и найдём её производную как производную композиции с промежуточным аргументом . Получаем тогда

    

        Пример 4.18   Найдём производную функции

При функция имеет неустранимый разрыв первого рода, поскольку

а

Теперь вычислим производную при : применяя формулу производной сложной функции, получаем

Заметим, что если бы не разрыв при , эта производная совпала бы с производной функции . Это неспроста: дело в том, что если мы положим

то будет совпадать с при всех . В то же время отличается на постоянное слагаемое от при , и поэтому производные у и у одинаковые.     

        Упражнение 4.3   Найдите производную функции

Отдельно вычислите производную при (как производную произведения) и производные слева и справа при (пользуясь определением производной, как

    

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции