‹-- Назад
Обратная матрица
называется обратной матрицей для квадратной матрицы 
, если 
. Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений 
или 
было бы не определено).
Обратная матрица для матрицы обозначается 
. Таким образом, если существует, то 
.
Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть 
. Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.
Доказательство. Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей ( предложение 14.7), то
. По следствию 14.1 
, поэтому 
, что невозможно при 
. Из предыдущего равенства следует также 
. Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде.
Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.
Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.
назовем вырожденной или особенной матрицей, если , и невырожденной или неособенной матрицей, если 
.
и 
являются обратными для матрицы . Тогда
и
.
является невырожденной, то обратная для нее существует и 
где
-- алгебраические дополнения к элементам 
. правая часть равенства (14.14) всегда существует, то достаточно показать, что эта правая часть является обратной матрицей для матрицы . Обозначим правую часть равенства (14.14) буквой . Тогда нужно проверить, что 
и что 
. Докажем первое из этих равенств, второе доказывается аналогично. Пусть 
. Найдем элементы матрицы , учитывая, что 
:
, то по предложению 14.17 сумма справа равна нулю, то есть 
при 
. Если 
, то
по 
-ой строке (предложение 14.16). Таким образом,
диагональные элементы равны 1, а остальные равны нулю, то есть 
. Результаты предложений 14.20, 14.21, 14.22 соберем в одну теорему.
существует тогда и только тогда, когда матрица -- невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (14.14).
. Решение. Находим определитель
, то матрица -- невырожденная, и обратная для нее существует. Находим алгебраические дополнения:
Полученная матрица и служит ответом к задаче.
Однако запись (14.15) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, если таковые потребуются. Поэтому запись ответа в виде (14.15) предпочтительнее, если элементы матриц -- целые числа. И наоборот, если элементы матрицы
-- десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителя 
впереди.
. Решение.
-- существует.
. Нахождение обратной матрицы по формуле (14.14) требует слишком много вычислений. Для матриц четвертого порядка и выше это неприемлемо. Реальный алгоритм нахождения обратной матрицы будет приведен позже.
