mathserfer.narod.ru

Теория по высшей математике

Связные множества

Пусть  -- отрезок на вещественной оси , переменная на которой обозначается буквой . Рассмотрим функций , заданных на отрезке . Каждому соответствует тогда точка пространства . Получаем отображение

Пусть теперь все функции , задающие вектор-функцию , непрерывны на отрезке  . Тогда и вектор-функцию будем называть непрерывной. Для такой непрерывной вектор-функции, при изменении на отрезке точка непрерывно перемещается из положения в положение .

        Определение 7.5   В описанной выше ситуации будем называть отображение

заданное формулой , непрерывным путём, или просто путём, соединяющим точку с точкой пространства .

Рис.7.4.

Множество всех точек будем называть непрерывной линией в , соединяющей точки и , а ту вектор-функцию , которая порождает линию  -- параметризацией этой линии.     

Заметим, что одна и та же линия может иметь разные параметризации. Например, на плоскости с координатами отрезок оси можно параметризовать, положив либо , либо (разумеется, формулы , при любом задают ещё бесконечное множество различных параметризации той же линии ).

        Определение 7.6   Множество называется связным, если любые две точки и этого множества можно соединить непрерывной линией , целиком лежащей в множестве , то есть если существует путь , начинающийся в и заканчивающийся в , такой что при всех .     

На следующем рисунке приведены примеры связных областей на плоскости.

        Упражнение 7.5   Докажите утверждение о связности перечисленных множеств. Заметим, что для всех этих множеств в качестве линии, соединяющей точки и , можно взять отрезок прямой. Напомним, что прямая в -мерном пространстве параметризуется линейными функциями от переменного :

Подумайте, как надо выбрать постоянные и , чтобы эти формулы задавали путь из в .     

        Определение 7.7   Множество называется выпуклым, если прямолинейный отрезок , соединяющий любые две точки и множества , целиком лежит в множестве .     

Получаем, что, во-первых, все перечисленные выше в пунктах 1) -- 6) множества являются выпуклыми и что, во-вторых, любое выпуклое множество связно.

Более подробно выпуклые множества мы будем изучать ниже.

Приведём пример несвязной области.

        Пример 7.4   Пусть  -- область в с координатами , заданная условием . Эта область состоит из двух открытых полупространств и (и, тем самым, открыта). Покажем, что область не связна.

Если взять две точки и , такие что и , то обе они принадлежат , поскольку их первая координата отлична от 0. Предположим, что некоторый непрерывный путь соединяет точку с точкой и .

Рис.7.6.

Поскольку , и функция по предположению непрерывна при , то по теореме о корне найдётся такое значение , что . Но тогда точка не принадлежит области , поскольку её первая координата равна 0. Значит, любой непрерывный путь  , соединяющий с , не может целиком лежать в . Это означает, что область не является связной.     

Если фиксировать некоторую точку множества и рассмотреть все те точки , в которые ведут непрерывные и целиком лежащие в пути, выходящие из , то множество таких концевых точек образует компоненту связности множества , содержащую точку . Если эта компонента связности не охватывает всё множество , то можно рассмотреть какую-то точку , не лежащую в этой компоненте, и, начиная с этой точки , построить другую компоненту связности множества , не пересекающуюся с первой компонентой связности. Продолжая, если нужно, этот процесс далее, мы получаем разбиение множества на непересекающиеся компоненты связности.

Любое связное множество состоит из одной компоненты связности, а любое несвязное множество -- по меньшей мере из двух компонент связности.

        Пример 7.5   Несвязное множество , рассмотренное в примере 7.4, состоит из двух компонент связности -- открытых полупространств и .