‹-- Назад
Структура решений неоднородной системы линейных уравнений
Систему неоднородных уравнений запишем в матричном виде
, где матрица 
имеет размеры 
.
Предложение 15.4 Пусть 
и 
-- решения неоднородной системы . Тогда их разность 
является решением однородной системы с той же матрицей, то есть решением системы 
.
Доказательство. По условию и -- решения неоднородной системы . Тогда их разность является решением однородной системы с той же матрицей, то есть решением системы . 
и 
. Тогда
, то 
-- решение однородной системы.
Предложение 15.5 Пусть -- решение неоднородной системы , -- любое решение однородной системы . Тогда 
-- решение неоднородной системы.
-- решение неоднородной системы , -- любое решение однородной системы . Тогда -- решение неоднородной системы. Доказательство предоставляется читателю.
Определение 15.7 Пусть 
-- некоторое решение неоднородной системы линейных уравнений , 
-- общее решение однородной системы . Тогда выражение 
называется общим решением неоднородной системы.
-- некоторое решение неоднородной системы линейных уравнений , -- общее решение однородной системы . Тогда выражение называется общим решением неоднородной системы. Учитывая запись общего решения однородной системы через фундаментальную систему ее решений 
, получаем для общего решения неоднородной системы формулу
Из двух последних предложений следует, что любое решение неоднородной системы может быть получено из общего решения при некоторых числовых значениях коэффициентов 
.
Теорема 15.4 Система линейных уравнений может иметь либо бесконечно много решений, либо одно решение, либо не иметь решений.
Доказательство. Пусть система имеет решение может иметь либо бесконечно много решений, либо одно решение, либо не иметь решений. . Если однородная система имеет только одно решение, то из формулы общего решения будет следовать, что -- единственное решение неоднородной системы. Если однородная система имеет хотя бы одно ненулевое решение, то ее фундаментальная система решений будет состоять не менее, чем из одного решения. В формуле общего решения неоднородной системы будет произвольный коэффициент 
, и при различных его значениях мы будем получать различные решения неоднородной системы.
Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции
