‹-- Назад
Правило Лопиталя
На основе теоремы Коши мы выведем правило, которое даст нам мощный способ вычисления пределов отношений двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин. Сформулируем его сначала для отношения бесконечно малых.
и 
непрерывны в некоторой окрестности 
точки 
и 
, то есть 
и 
при 
. Предположим, что при 
функции и имеют производные 
и 
, причём существует предел отношения этих производных: 
и тоже существует и равен тому же числу 
: 
Доказательство. Заметим, что из условия 
следует, что оба односторонних предела также равны :
и 
Пусть 
, 
. По теореме Коши, применённой к отрезку 
, получим тогда, с учётом того, что 
,
. Перейдём теперь в этом равенстве к пределу при 
: 
имеем также 
. Теперь возьмём точку 
, 
и применим теорему Коши к отрезку 
. Получим 
. Переходя к пределу при 
, получаем 
имеем 
. Итак, оба односторонних предела отношения 
равны . На основании теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним получаем, что
и 
): если
и бесконечно малы при и существует предел 
. Этот предел представляет собой предел отношения двух бесконечно малых, поскольку 
и 
.
Заметим прежде всего, что предел можно упростить, заменив знаменатель 
на эквивалентную бесконечно малую: 
при 
. Получим:
при . Получаем: 
. По правилу Лопиталя отсюда следует, что исходный предел также существует и равен тому же числу: 
Его легко вычислить, заметив, что величина 
-- величина, локально ограниченная при базе , а величина 
-- бесконечно малая: 
и 
правило Лопиталя и вычислить предел отношения производных этих двух функций. Имеем: 
и 
. Составим отношение этих двух производных: 
предел, равный 0, а второе не имеет никакого предела; следовательно, не имеет предела и сумма. Итак, исходное отношение бесконечно малых имеет предел, равный 0, в то время как отношение производных этих бесконечно малых не имеет никакого предела. Получаем, что применение к данному примеру правила Лопиталя не приводит к желаемому вычислению предела.
Правило Лопиталя действует не только при базах , , , но и при базах 
, 
, 
. Докажем это.
) Пусть и -- функции, являющиеся бесконечно малыми при базе (или , или ) и дифференцируемые на некотором луче 
(или 
, или объединении лучей 
, соответственно). Тогда если существует предел 
также существует и равен тому же числу: 
, ). Доказательство. Положим 
и рассмотрим функции 
и 
Тогда функции 
и 
непрерывны на отрезке 
и дифференцируемы при 
. При этом
величинам и можно применить правило Лопиталя ( теорема 5.5 для предела справа, см. замечание 5.5):  |
Распространим теперь правило Лопиталя на случай, когда функции и являются бесконечно большими величинами при данной базе (о бесконечно больших величинах см. раздел 2.7).
и 
при и в некоторой проколотой окрестности 
, 
, существуют производные и . Тогда, если существует предел отношения этих производных 
Доказательство. За полным доказательством этого утверждения мы отсылаем к книгам [Никольский С. М., Курс математического анализа. Том 1. -- М.: Наука, 1990. -- С. 200 - 201] или [Смирнов В. И., Курс высшей математики. Том 1. -- М.: Наука, 1974. -- С. 157 - 158]. Здесь же мы докажем, что оба предела совпадают, в предположении, что второй из них существует и оба не равны 0. Итак, пусть
-- некоторое число. Докажем, что тогда 
. Рассмотрим вспомогательные функции 
и 
Тогда функции 
и 
-- бесконечно малые при , непрерывные при 
; их производные таковы:
и
Из равенства (5.3) получаем, что
. Переходя к пределу в равенстве (5.4), получаем: 
и , получим: 
, что и требовалось доказать.
и ); сделав замену , выведем, что оно верно для пределов при базах , и (аналогично тому, как теорема 5.6 была выведена из теоремы 5.5).
, все остальные варианты правила Лопиталя не универсальны: если предел отношения производных не существует, то это ещё не означает, что нет предела отношения исходных величин. Приведём ещё один пример, иллюстрирующий это важное замечание.
две бесконечно больших: 
и 
. Предел их отношения, очевидно, существует: 
. Следовательно, для вычисления предела 
Несмотря на свою неуниверсальность, правило Лопиталя служит весьма мощным средством нахождения сложных пределов. При этом иной раз приходится применять это правило много раз подряд, пока не получим предел, значение которого либо очевидно, либо может быть вычислено каким-либо способом, изученным нами ранее (например, с помощью замены на эквивалентные бесконечно малые).
. (Это предел отношения двух бесконечно малых. Заметим, что не является множителем, так что его нельзя заменить на эквивалентную величину 
; если бы мы всё же сделали это, то сразу получили бы в числителе 0, и "ответ" равнялся бы 0.) Применим правило Лопиталя и получим, что 
при , и заменив числитель. Однако можно пойти и другим путём. Мы снова получили отношение двух бесконечно малых, к которому снова применим правило Лопиталя: 
(это первый замечательный предел). Итак, обоснование результата таково:
