‹-- Назад
Тригонометрическая форма комплексного числа
Пусть
. Положим 
, 
. Из рисунка 17.4 очевидно, что
. Это выражение запишем в виде 
Последняя запись называется тригонометрической формой комплексного числа. В отличие от нее запись числа в виде
называют иногда алгебраической формой комплексного числа. Отметим, что тригонометрическая форма -- это указание числа по двум его характеристикам: модулю и аргументу. Поэтому вместо формулы (17.8) можно было бы просто записывать пару 
, но запись (17.8) принята в силу традиции.
и 
, иначе мы потеряем явное указание аргумента 
и снова вернемся к алгебраической форме. Кроме того, если угол 
получился отрицательным, то знак "
" НЕЛЬЗЯ выносить за знак синуса и НЕЛЬЗЯ убирать его под знаком косинуса.
, 
, 
, 
. Решение. Находим модуль, аргумент, а затем выписываем тригонометрическую форму:
Пусть 
, 
. Найдем произведение 
:
Заметим, что во внутренних скобках стоят формулы косинуса и синуса суммы аргументов. Поэтому
. Значит,
иными словами, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Аналогично можно доказать, что
иными словами, при делении комплексных чисел их модули делятся один на другой, а аргументы вычитаются.
Несложно проверить, что если 
, то
Используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получим формулу для возведения комплексного числа в степень 
, где -- натуральное число.
Пусть . Тогда
Эта формула называется формулой Муавра.
, если 
. Решение. Находим тригонометрическую форму числа :
. Ответ: 
.
