‹-- Назад
Кривизна графика функции
задана как график функции 
и 
-- некоторая точка этой кривой. Будем предполагать, что функция 
дифференцируема в некоторой окрестности точки 
, так что при 
из этой окрестности к графику можно проводить касательные, составляющие угол 
с осью 
. Кривизной кривой в точке 
(или при 
) называется число
-- угол поворота касательной при переходе точки касания из в 
и 
-- длина части линии21 между точками и 
. Смысл предела, определяющего кривизну, -- это скорость поворота касательной в точке , в расчёте на единицу длины дуги.
в точку
функция имеет вторую производную 
. Тогда кривизна линии 
при равна 
Доказательство. Пусть 
-- точка, близкая к (будем считать для наглядности, что 
). По геометрическому смыслу производной, 
, откуда 
. При малых 
дуга 
весьма близка к хорде , и интуитивно ясно, что для гладкой кривой предел отношения длины дуги к длине хорды 
равен 1, то есть эти две бесконечно малых при 
величины эквивалентны22. Хорда имеет длину 
, где 
и 
-- приращения координат при переходе от точки к точке . Рассмотрим предел 
Имеем, очевидно,
, то, заменив числитель на эквивалентную бесконечно малую, получаем, что 
к виду 
. Имеем тогда 
при произвольном значении . Поскольку 
и 
, имеем 
Заметим, что кривизна параболы убывает при росте 
и принимает максимальное значение 2 при 
, то есть в вершине параболы.
