‹-- Назад
Матрица линейного преобразования
В примере 19.4 было показано, что преобразование 
-мерного пространства, заключающееся в умножении координатных столбцов векторов на фиксированную матрицу, является линейным преобразованием. В этом разделе мы покажем, что все линейные преобразования конечномерного пространства устроены таким же образом. Пусть 
-- -мерное линейное пространство, в котором задан базис 
, 
-- линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор 
. Пусть 
-- его координатный столбец. Координатный столбец вектора 
обозначим 
.
Запишем разложение вектора по базису пространства 
. Для образа этого вектора получим
Векторы
имеют какие-то координатные столбцы, обозначим их 
, 
, ..., 
соответственно. В этой записи первый индекс показывает номер координаты, а второй индекс -- номер вектора. Соответственно,
-той координатой вектора 
служит 
. Составим матрицу 
из координатных столбцов векторов 
, ..., 
на столбец 
-ый элемент столбца совпадает с -ой координатой вектора . Поэтому 
Это означает, что в выбранном базисе действие любого линейного преобразования сводится к умножению матрицы на координатный столбец вектора.
Матрица называется матрицей линейного преобразования . Еще раз напомним, как она составлена: первый столбец является координатным столбцом образа первого базисного вектора, второй столбец -- координатным столбцом образа второго базисного вектора и т.д.
из примера 19.1. Выберем какой-нибудь базис 
. Тогда
имеет вид 
. Аналогично
имеет вид 
. В итоге
из примера 19.2. Угол 
возьмем равным 
. В качестве базиса возьмем привычный ортонормированный базис i, j. Из рисунка 19.7 видно, что вектор 
имеет координаты 
и 
.
Поэтому координатный столбец образа первого базисного вектора имеет вид
. Координаты образа второго базисного вектора равны 
и 
, его координатный столбец имеет вид 
. В итоге получаем, что в базисе i, j матрица поворота на угол 
имеет вид
