‹-- Назад
Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса
В предыдущем разделе мы установили, что как только в линейном пространстве выбран базис, то каждому линейному преобразованию соответствует матрица этого преобразования. Однако если выбрать в пространстве другой базис, то матрица преобразования, как правило, станет другой. Выясним, как эти матрицы связаны между собой.Пусть 
-- 
-мерное линейное пространство, 
и 
-- два базиса в этом пространстве. Первый из них назовем "старым", а второй -- "новым". Пусть 
-- матрица перехода 19.1.4 а от старого базиса к новому.
-- линейное преобразование пространства , 
и 
-- матрицы этого преобразования в старом и новом базисе соответственно. Тогда
Доказательство. Пусть 
-- произвольный вектор пространства , 
-- его образ, то есть 
. Пусть 
и 
-- координатные столбцы векторов и в старом базисе, а 
, 
-- в новом. Тогда в силу формулы (19.3) 
. По предложению 18.5 имеем 
, 
. Подставим эти выражения в предыдущую формулу, получаем 
. Откуда 
. С другой стороны, в силу формулы (19.3) в новом базисе 
. Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем 
.
и 
одного порядка называются подобными, если существует такая невырожденная матрица , что 
.
