‹-- Назад
Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц
являются корни уравнения
Доказательство. Пусть столбец 
-- собственный вектор матрицы с собственным числом 
. Тогда, по определению, 
. Это равенство можно переписать в виде 
. Так как для единичной матрицы 
выполнено 
, то 
. По свойству матричного умножения 
и предыдущее равенство принимает вид
Допустим, что определитель матрицы 
отличен от нуля, 
. Тогда у этой матрицы существует обратная 
. Из равенства (19.4) получим, что 
, что противоречит определению собственного вектора. Значит, предположение, что , неверно, то есть все собственные числа должны являться корнями уравнения 
.
Пусть -- корень уравнения . Тогда базисный минор матрицы не может совпадать с определителем матрицы и поэтому 
, 
-- порядок матрицы . Уравнение (19.4) является матричной записью однородной системы линейных уравнений с неизвестными 
, являющимися элементами матрицы-столбца . По теореме 15.3 число решений в фундаментальной системе решений равно 
, что больше нуля. Таким образом, система (19.4) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то есть числу соответствует хотя бы один собственный вектор матрицы .
Определитель 
является многочленом степени от переменного , так как при вычислении определителя никаких арифметических действий кроме сложения, вычитания и умножения выполнять не приходится.
называется характеристической матрицей матрицы , многочлен называется характеристическим многочленом матрицы , уравнение называется характеристическим уравнением матрицы .
Решение. Составляем характеристическую матрицу :
Решим характеристическое уравнение
. Есть теорема, которая говорит, что если число 
является корнем многочлена 
, то многочлен делится на разность 
, то есть 
, где 
-- многочлен. В соответствии с этой теоремой многочлен 
должен делиться на 
. Выделим в характеристическом многочлене этот множитель 
: 
Находим корни трехчлена
. Они равны и 3. Таким образом,
-- корень кратности 2 17.7 b, 
-- простой корень. Итак, собственные числа матрицы равны , . Найдем соответствующие им собственные векторы. Пусть 
, тогда для собственного вектора получаем матричное уравнение
и 
прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам
находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальня система содержит только одно решение. Переменные 
и 
оставляем в левой части, а переменное 
переносим в правую часть
, находим 
, 
. Итак, собственному числу соответствует собственный вектор 
. Пусть 
, тогда для собственного вектора 
получаем матричное уравнение
и прибавляем к третьей
находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальная система содержит только одно решение. Переменные 
и 
оставляем в левой части, а переменное 
переносим в правую часть
, находим 
, 
. Итак, собственному числу соответствует собственный вектор 
. Чтобы избавиться от дроби, умножим собственный вектор на 2, получим собственный вектор с тем же самым собственным числом. В итоге собственному числу соответствует собственный вектор 
. Ответ: Собственные числа: , , соответствующие собственные векторы: , .
