‹-- Назад
Метод простых итераций
Предположим, что уравнение 
при помощи некоторых тождественных преобразований приведено к виду 
.
Заметим, что такое преобразование можно вести разными способами, и при этом будут получаться разные функции 
в правой части уравнения. Уравнение эквивалентно уравнению 
при любой функции 
. Таким образом, можно взять 
и при этом выбрать функцию (или постоянную) 
так, чтобы функция удовлетворяла тем свойствам, которые понадобятся нам для обеспечения нахождения корня уравнения.
Для нахождения корня уравнения выберем какое-либо начальное приближение 
(расположенное, по возможности, близко к корню 
). Далее будем вычислять последующие приближения
в очередном вычислении. Такие вычисления по одной и той же формуле 
, когда полученное на предыдущем шаге значение используется на последующем шаге, называются итерациями. Итерациями называют часто и сами значения 
, полученные в этом процессе (то есть, в нашем случае, последовательные приближения к корню). Заметим: тот факт, что -- корень уравнения , означает, что есть абсцисса точки пересечения графика 
с прямой 
. Если же при каком-либо вычислено значение 
и взято в качестве нового аргумента функции, то это означает, что через точку графика 
проводится горизонталь до прямой , а оттуда опускается перпендикуляр на ось 
. Там и будет находиться новый аргумент 
.
-- решение уравнения . Построение точки по точке Проследим, как изменяются последовательные приближения при различных вариантах взаимного расположения графика и прямой .
1). График расположен, по крайней мере в некоторой окрестности корня, включающей начальное приближение , в некотором угле со сторонами, имеющими наклон менее 
к горизонтали (то есть стороны угла -- прямые 
, где 
):
под малым углом: варианты расположения Если предположить вдобавок, что функция имеет производную 
, то этот случай соответствует тому, что выполнено неравенство 
, при 
, близких к корню . Проследим в этом случае за поведением последовательных приближений 
: два варианта Мы видим, что каждое следующее приближение 
будет в этом случае расположено ближе к корню , чем предыдущее приближение . При этом, если график при 
лежит ниже горизонтали 
, а при 
-- выше её (что, в случае наличия производной, верно, если 
), то приближения ведут себя монотонно: если 
, то последовательность 
монотонно возрастает и стремится к , а если 
, то монотонно убывает и также стремится к . Если же график функции лежит выше горизонтали при и ниже её при (это так, если 
), то последовательные приближения ведут себя иначе: они "скачут" вокруг корня , с каждым скачком приближаясь к нему, но так же стремятся к при 
.
Заметим, что если функция не монотонна в окрестности точки , то последовательные приближения могут вести себя нерегулярно (то есть не монотонно и не оказываясь попеременно то левее, то правее корня, а делая скачки относительно корня при произвольных номерах (см. следующий чертёж):
сходящиеся итерации могут вести себя нерегулярно
2). График расположен, по крайней мере в некоторой окрестности корня, вне некоторого угла со сторонами, имеющими наклон более к горизонтали (то есть стороны угла -- прямые , где 
):
под большим углом: варианты расположения Если функция имеет производную , то в этом случае при , близких к корню , выполнено неравенство 
.
расходятся в случае 
: два варианта Каждая следующая итерация будет в этом случае расположена дальше от корня , чем предыдущая, . При этом, в зависимости от того, пересекает ли график прямую "снизу вверх" или "сверху вниз" (см. рис.), последовательность монотонно удаляется от корня или же итерации удаляются от , оказываясь попеременно то справа, то слева от корня.
Ещё одно замечание: если не выполнено ни условие 
, ни условие 
, то итерации 
могут зацикливаться. На чертеже ниже приведён пример зацикливания, когда уравнение имеет вид 
.
Мы видим, что для сходимости итераций к корню, вообще говоря, не обязательно наличие производной у функции . Однако метод итераций гораздо удобнее формулировать в терминах, связанных со значениями производной. Именно так мы и сформулируем наши наблюдения в виде теоремы.
имеет производную в некоторой окрестности 
корня уравнения , причём 
при 
, то последовательность итераций , полученных при 
, начиная с 
, сходится к корню . При этом скорость сходимости задаётся неравенствами
-- длина окрестности , а точность 
-го приближения -- оценкой 
Доказательство. Пусть . По формуле конечных приращений, применённой к отрезку между точками и , получаем
лежит между и . Значит, 
и 
). Повторяя рассуждения для точек 
вместо , получаем:  | |
 | |
 | |
 | |
 | |
|
Так как
, последовательность 
стремится к 0 при . Значит, 
при . Неравенство 
очевидно, поскольку из того, что и лежат в окрестности длины , следует, что 
.
Поскольку
и 
, где -- величина, ограничивающая сверху абсолютную величину производной. Тем самым, чем меньше 
, тем быстрее сходятся итерации. Наиболее быстро они будут сходиться, если график пересекает прямую , имея горизонтальную касательную, то есть при 
(и, разумеется, при выборе начального приближения достаточно близко к корню , так чтобы на отрезке между и производная мало отличалась от 0). 
Выше мы отмечали, что привести уравнение к виду можно, выбирая в виде 
, где -- произвольная функция. При различных способах выбора 
получаются разные модификации метода итераций, которые имеют отличающиеся свойства: разную скорость сходимости (но не меньшую той, что гарантирована теоремой) и разную потребность в вычислении значений функции 
или , а также их производных.
Отметим самые употребительные из этих методов.
