Теория по высшей математике

Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума

В этой главе речь пойдёт о приближённом нахождении корней уравнения . Дело в том, что решить это уравнение "точно", то есть выразить его корни через известные постоянные (целые числа, числа , и другие им подобные) с помощью элементарных функций от этих постоянных, удаётся далеко не всегда. Уже корни многочленов степени выше 4 не всегда выражаются "в радикалах", а общей формулы для уравнения степени выше 4, которая годилась бы при любых коэффициентах уравнения, вообще не существует. Да и в случае, когда такая формула существует, бывает, что от неё мало практического толку ввиду сложности получающихся выражений. Например, для решения уравнений третьей степени имеется формула Кардано, позволяющая найти корни в зависимости от коэффициентов уравнения. Для уравнения

формула Кардано²⁵ даёт значение корня

Велика ли польза непосредственно от этого результата? Пока выражение не вычислено, мы не можем сказать даже, лежит ли корень на отрезке, скажем, . Вычислить же это выражение²⁶ -- работа, вполне сравнимая по трудоёмкости с той, что требуется для приближённого решения уравнения одним из тех методов, которые мы опишем ниже. Результат же всё равно в обоих случаях получится приближённый, поскольку вычислять дроби и корни в решении, данном формулой Кардано, также придётся приближённо.