‹-- Назад
Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов
В разделе "Матрица линейного преобразования" мы выяснили, что каждое линейное преобразование
-мерного линейного пространства в фиксированном базисе задается матрицей. Если меняется базис, то, как правило, меняется и матрица. Возникает вопрос, нельзя ли найти базис, в котором матрица линейного преобразования имеет наиболее простой вид. В общем случае выбрать такой базис довольно сложно. Это связано с нахождением нормальной жордановой формы матрицы, изложение которого можно найти в более обстоятельных учебниках по линейной алгебре, например, в [4], [5]. Следующая теорема отвечает на этот вопрос в более простом случае.
-- линейное преобразование -мерного линейного пространства. Матрица линейного преобразования имеет диагональный вид 
тогда и только тогда, когда векторы базиса являются собственнными векторами преобразования
, соответствующими собственным числам 
. Доказательство. Пусть преобразование имеет линейно независимых собственных векторов 
, соответствующих собственным числам 
. Так как векторы линейно независимы, то они образуют базис. Найдем матрицу преобразования в этом базисе. Ее первый столбец является координатным столбцом вектора 
. Так как 
-- собственный вектор, то
. Второй столбец матрицы 
является координатным столбцом вектора 
. Так как 
-- собственный вектор, то
. Вычисляя аналогично остальные столбцы, получаем, что матрица линейного преобразования в базисе имеет вид (19.5). Первая часть теоремы доказана. Пусть в некотором базисе матрица линейного преобразования имеет вид (19.5). Найдем образ вектора 
. Этот вектор имеет координатный столбец 
, его образ имеет координатный столбец
-- собственное число преобразования , а -- соответствущий ему собственный вектор. Аналогично находим, что любой базисный вектор 
является собственным вектором преобразования , соответствующим собственному числу 
.
порядка существует набор из линейно независимых собственнных векторов, соответствующих собственным числам , то матрица подобна диагональной матрице с числами на диагонали.
преобразования соответствуют собственным числам 
, среди которых нет равных друг другу. Тогда система векторов является линейно независимой. Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции по числу векторов. Если 
, то утверждение теоремы следует из того, что собственный вектор -- ненулевой.
Пусть утверждение верно для системы векторов 
. Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее к нулю
К обеим частям применим преобразование
-- собственные векторы, то
и вычтем из последнего равенства. Получим
линейно независимы, то
, следовательно, 
. Подставим эти значения в (19.6), получим 
. Получили, что из равенства (19.6) следует 
, то есть векторы линейно независимы.
порядка имеет попарно различных собственных чисел, то она подобна диагональной матрице.
