‹-- Назад
Метод золотого сечения и метод Фибоначчи
Метод почти половинного деления требует на каждой итерации двух вычислений значений функции: в точках 
и 
. Имеются два схожих по идее, но более экономных метода, в которых каждая итерация требует только одного нового вычисления значения функции. Если основные вычислительные усилия на каждой итерации приходятся именно на вычисление значений функции (так, как правило, и бывает), то это приводит к ускорению вычислений примерно вдвое по сравнению с методом почти половинного деления.
Один из методов называется метод золотого сечения. В этом методе длины последовательных отрезков 
должны давать одно и то же число 
:
При этом 
, откуда легко получить, что число удовлетворяет равенству 
. Решая это уравнение, получаем, что 
. Таким образом, на первом шаге на отрезке 
вычисляются значения в двух точках 
и 
, расположенных симметрично на расстоянии 
от концов отрезка 
и 
и делящих отрезок на части, составляющие "золотое сечение". Сравнивая точно так же, как в методе почти половинного деления, значения в этих точках, выбираем в качестве 
либо 
, либо 
. Экономия по сравнению с методом почти половинного деления получается на всех остальных шагах, поскольку если процесс повторить на отрезке 
при 
, то одной из точек деления оказывается ранее найденная точка: 
либо 
, так что одно из двух значений функции найдено на предыдущей итерации.
Ещё один метод -- метод Фибоначчи -- применяется в тех случаях, когда заранее известно, сколько итераций мы собираемся совершить, и при этом хотим получить наибольшую возможную точность в определении точки минимума. При этом оказывается, что длины отрезков связаны с последовательностью чисел Фибоначчи 
, заданной начальными значениями 
и рекуррентной формулой 
.
Тех, кто заинтересовался этим методом, мы отсылаем за его точным описанием, как и за подробностями метода золотого сечения, к книге [Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М., Методы оптимизации. -- М.: Наука, 1978].
