‹-- Назад
Векторное произведение
Введем еще одну операцию над векторами. Эта операция существует только в трехмерном векторном пространстве, на плоскости она не определена.
1) 
, где 
-- угол между a и b и, если 
, то еще двум условиям:
2) вектор c ортогонален векторам a и b;
3) из конца вектора c кратчайший поворот от вектора a (первого сомножителя) к вектору b (второму сомножителю) виден против часовой стрелки. (Начала векторов предполагаются совмещенными).
. Таким образом, 
. Если 
или 
, то считается, что векторное произведение равно 0. Векторное произведение вектора a на вектор b обозначается 
или 
.
В другой формулировке: если изменить порядок сомножителей, то векторное произведение меняет направление на противоположное.
Доказательство. Пусть 
, 
. Нужно показать, что 
. Из условия 1 следует, что 
. Если 
, то очевидно, что . Если 
, то векторы c и d -- коллинеарны, так как оба лежат на прямой, ортогональной плоскости векторов a и b. Таким образом, остаются только две возможности: 
или . Пусть вектор 
совпадает с вектором 
. Тогда в силу условия 3 из конца одного и того же вектора и поворот от a к b, и поворот от b к a по кратчайшему направлению виден против часовой стрелки, что невозможно. Следовательно, .
равно нулю тогда и только тогда, когда векторы a и b -- коллинеарные. 
тогда и только тогда, когда 
, или 
, или 
. Из последнего равенства получим, что 
или 
, в этом случае векторы a и b коллинеарны. Вспомнив, что нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору, получим, что предложение верно и при a или b, равных нулю.
Доказательство. Если
, то утверждение очевидно. Если векторы a и b -- коллинеарные, то векторы 
и b -- тоже коллинеарные, и поэтому обе части доказываемого равенства равны нулю. Пусть 
, a, b -- неколлинеарные, 
, 
. Тогда углы, образованные векторами a и b и векторами и b, равны. Следовательно,
. Оба вектора c и d перпендикулярны плоскости векторов a и b и направлены одинаково, так как равны углы между сомножителями. Следовательно, . Пусть 
. Тогда векторы 
образуют угол 
, рис. 10.25.
Вычисляем модули:
. Векторы 
и d перпендикулярны плоскости векторов a и b. Векторы и c имеют противоположные направления, так как поворот от a и от к вектору b происходят в противоположных направлениях. Но вектор d имеет направление, противоположное вектору (рис. 10.25) и, следовательно, одинаковое с вектором c. Получили, что 
.
. С помощью векторного произведения можно найти площади параллелограмма и треугольника.
Отметим еще одну особенность векторного произведения, отличающую его от операции умножения чисел.
. 
. Тогда вектор 
, кроме того, этот вектор ортогонален плоскости векторов a и b. Таким образом, векторы и c -- неколлинеарные, поэтому 
. С другой стороны, 
по предложению 10.19. Поэтому 
. Получили, что . 