mathserfer.narod.ru

Теория по высшей математике

‹-- Назад

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей

Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис i, j, k. Наложим на этот базис еще одно дополнительное условие, а именно: из конца вектора k поворот от i к j по кратчайшему направлению должен быть виден против часовой стрелки.

Оказывается, если векторы правой тройки изменять непрерывно, но так, чтобы в любой момент времени они были не компланарны, то в любой момент такой деформации эта тройка векторов будет правой тройкой. Аналогичным свойством обладает и левая тройка векторов.

Отметим также, что определение векторного произведения и правой (левой) тройки вектров связаны с наличием в пространстве "физических" объектов: часов, человека и т. п. В абстрактном векторном пространстве, где такие объекты отсутствуют, определить, какая тройка -- правая, а какая -- левая, невозможно. Можно только все некомпланарные тройки векторов разбить на два класса такие, что при непрерывной деформации тройки одного класса, при которой в любой момент векторы тройки не компланарны, тройка все время остается в своем классе.

Итак, пусть в трехмерном пространстве задан ортонормированный базис i, j, k, векторы которого образуют правую тройку векторов. Такой базис будем называть правым.

Используя определение векторного произведения, легко проверить следующую таблицу умножения :

        Доказательство.     По условию , . В силу  предложений 10.20 и 10.21 получим

По тем же правилам

По таблице умножения . Аналогично находим , . Подставив полученные результаты в формулу (10.5), получим

    

Запомнить полученную формулу довольно тяжело. Чтобы облегчить этот процесс, введем еще два дополнительных объекта -- матрицу и определитель.

Матрицей второго порядка будем называть таблицу из четырех чисел, которая обозначается , матрицей третьего порядка называется таблица из 9 чисел --

Определителем матрицы второго порядка будем называть число . Определитель второго порядка обозначается .

Определителем матрицы третьего порядка будем называть число

Сформулируем словами правило вычисления определителя третьего порядка.

Берем первый элемент первой строки. Мысленно вычеркиваем строку и столбец с этим элементом. Умножаем этот элемент на определитель, оставшийся после вычеркивания. Затем пишем знак "-" и берем второй элемент первой строки. Мысленно вычеркиваем строку и столбец с этим элементом и пишем оставшийся определитель. Затем пишем знак "+" и третий элемент первой строки. Снова вычеркиваем строку и столбец с этим элементом и пишем оставшийся определитель.

В дальнейшем мы увидим, что столь сложно введенное понятие определителя оказывается очень полезным при решении систем линейных уравнений, определении линейной зависимости векторов и во многих других задачах.

Формула для определителя третьего порядка позволяет кратко записать формулу для вычисления векторного произведения.

        Доказательство.     Достаточно лишь написать формулу вычисления приведенного в теореме определителя и сравнить ее с формулой  предложения 10.24.     

Задача. Пусть вершины треугольника расположены в точках , , . Найдите площадь треугольника.

Решение. По  предложению 10.22 . Находим , ,

то есть . Тогда

Ответ: .     

Задача. Найдите такой единичный вектор e, ортогональный векторам , , что тройка векторов a,b,e -- левая.

Решение. Найдем вектор :

Вектор c ортогонален векторам a и b. Найдем его длину: . Тогда  -- единичный вектор, ортогональный векторам a,b. Векторы a,b,c, а следовательно, и векторы a,b, . образуют правую тройку векторов. Поэтому .

Ответ: .