‹-- Назад
Использование непрерывности функций при вычислении пределов
Выше, в примерах 2.17 и 2.23, мы отмечали, что, фактически, при вычислении этих пределов использовали соображения, связанные с непрерывностью функций. Дадим теперь строгое определение непрерывности и обсудим способы вычисления пределов с помощью этого понятия.
-- внутренняя точка области определения функции 
, то есть функция определена при всех 
из некоторого интервала 
( 
), окружающего точку . Функция называется непрерывной в точке , если 
непрерывна в точке
(формула (2.3)). Так как 
, то с помощью замены 
легко показать, что 
а из теоремы о связи односторонних и двустороннего пределов отсюда следует, что 
непрерывна в точке 
. Там же была получена формула (2.4): 
Пользуясь тем, что 
, и сделав замену 
, получим, что 
Поэтому и
также непрерывна при 
. Покажем, что функция 
непрерывна при любом 
. По определению, для этого нужно доказать, что
и заметим, что база 
при такой замене переходит в базу 
. Далее, 
(здесь мы воспользовались линейностью предела;
и 
были при этом постоянными коэффициентами), что и доказывает непрерывность синуса. Совершенно аналогично, с использованием формулы
функции 
.
определена на некотором полуинтервале 
( ), примыкающем к точке справа. Функция называется непрерывной справа в точке , если существует предел 
, и 
непрерывна справа в точке Пусть функция определена на некотором полуинтервале 
( ), примыкающем к точке слева. Функция называется непрерывной слева в точке , если существует 
, и
непрерывна слева в точке
Из теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним сразу следует такая
непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке . Поскольку 
, то непрерывность функции в точке означает, что обозначения функции 
и предела 
можно поменять местами:
То же касается и непрерывности слева и справа.
Назовём элементарной любую функцию переменного из следующего списка:
-- произвольные постоянные вещественные числа, 
), а также любую функцию, полученную из этих элементарных функций при помощи композиций, арифметических операций, перехода к обратной функции. При этом в число элементарных функций попадают, например, все многочлены
-- постоянные), все рациональные дроби 
и 
-- многочлены), а также 
, 
, 
(обратная к главной ветви 
), 
(обратная к главной ветви 
), 
(обратная к 
) и другие функции, с которыми можно было встретиться ещё в школьном курсе анализа. Однако не все функции, рассматривающиеся в курсе математического анализа, являются элементарными. Примером может служить довольно часто употребляющаяся функция
Если бы не значение 
, её можно было бы рассматривать как элементарную: при 
она совпадает с функцией
не определена. Однако незначительное, на первый взгляд, отличие играет ключевую роль с точки зрения следующей теоремы.
Частичное доказательство теоремы мы приведём ниже, в главе о свойствах непрерывных функций. Заметим, что выше мы уже доказали непрерывность функции . Полное доказательство теоремы можно найти в подробных учебниках по математическому анализу, например, Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1 или С. М. Никольский, Курс математического анализа, т. 1.
В качестве примера рассмотрим только что введённую функцию 
. Её график таков:
Для любой точки из области определения этой функции либо 
, и тогда 
при всех из некоторой окрестности точки , либо 
, и тогда 
при всех из некоторой окрестности точки . Очевидно, что тогда в первом случае
своей области определения. В случае функции всё дело "портит" точка : очевидно, что
Используя непрерывность элементарных функций, на основании общих теорем можно во многих (простых) случаях находить значение пределов прямой подстановкой предельного значения в выражение, стоящее под знаком предела. Именно так мы поступим при вычислении предела в следующем примере.
. Поскольку функция 
-- элементарная, причём -- точка её области определения (так как 
), то для нахождения предела достаточно воспользоваться равенством (2.6) и подставить вместо предельное значение 0:
Прямую подстановку использовать нельзя в тех случаях, когда мы не можем вычислить значение элементарной функции, стоящей под знаком предела, в данной предельной точке . В этом случае говорят, что задающее функцию выражение, а также и сам предел представляют собой неопределённость. Выше мы уже встречались с неопределённостями вида 
. Бывают ещё неопределённости вида 
, 
, 
, 
и других видов, заданные выражениями, не имеющими формального смысла. С символами в этих выражениях нельзя обращаться, как с числами в обычных дробях, разностях, произведениях и т. д. В частности, "дроби" , вовсе не всегда означают пределы, значение которых равно единице. Например, 
, а 
; 
, а 
(Вычислите все эти пределы в качестве упражнения.) "Разности" вида отнюдь не всегда обозначают неопределённости, которые после раскрытия предела дадут 0. Например, 
(здесь на самом деле получается 0), а 
. (Эти два примера будут вам предложены для решения ниже, в разделе Упражнения на вычисление пределов.)
Так что получается, что вся теория вычисления (нетривиальных) пределов -- это изучение способов раскрытия неопределённостей.
Во многих случаях, чтобы раскрыть неопределённость, достаточно каким-либо образом преобразовать стоящую под знаком предела функцию, после чего нахождение предела сводится к применению общих теорем (о пределе суммы, произведения, частного и т. п.), а также теорем о первом и втором замечательных пределах. Многие такие примеры мы разбирали выше. А вот ещё один типичный пример.
. Данный предел представляет собой неопределённость, так как при 
как числитель, так и знаменатель обращаются в 0 (это неопределённость вида 
). Так что просто подставить 2 вместо в исходную дробь нельзя. Однако если разложить числитель и знаменатель на множители (для чего найдём корни числителя: 
и -- и знаменателя: и 
), получим 
и 
, и видно, что дробь (при 
) можно упростить, сократив на 
. Поскольку при 
мы считаем, что , то
непрерывна при , так как точка 2 входит в область определения этой элементарной функции. Поэтому 
и, следовательно, 
. (При этом числитель и знаменатель можно сократить на 
. Ответ: 
.)
. (При этом знаменатель можно представить в виде 
, а затем сократить дробь на 
. Ответ: 0.)
