‹-- Назад
Общие свойства пределов
В этом разделе мы на основе изученных выше свойств бесконечно малых величин (то есть функций, имеющих предел, равный 0) выясним свойства функций, имеющих произвольное значение предела.
и 
имеют пределы при одной и той же базе 
: 
также имеет предел при базе , и этот предел 
равен сумме пределов слагаемых: 
Доказательство. Равенство 
означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина 
-- бесконечно малая; равенство 
-- что 
-- бесконечно малая. Поэтому по теореме 2.5 сумма
бесконечно мала, означает, что 
; это и требовалось доказать.
и 
. Тогда 
и предел 
, в то время как пределы при 
функций и не существуют. Так что из несуществования пределов слагаемых не следует несуществование предела суммы.
и имеют пределы при одной и той же базе : 
также имеет предел при базе , и этот предел равен произведению пределов сомножителей: 
Доказательство. Равенство означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина -- бесконечно малая; равенство -- что -- бесконечно малая. Поэтому 
и 
, откуда
-- бесконечно малая согласно следствию 2.3, а величина 
-- бесконечно малая по теореме 2.7 (величина 
имеет предел, равный 0, и, следовательно, локально ограничена по теореме 2.6). Поскольку разность между функцией и постоянной 
бесконечно мала при базе , то по теореме 2.4 ; это и требовалось доказать.
при имеет предел, равный 0, однако предела 
при не существует (хотя другой множитель, 
, имеет предел при этой базе). Так что из несуществования предела у какого-нибудь сомножителя не следует несуществование предела произведения.
и 
(то есть 
-- постоянная величина). Тогда существует предел функции 
, равный 
: 
Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что, согласно примеру 2.4, 
, и применить теорему 2.9.
Доказанное следствие означает, что постоянный множитель можно выносить за знак предела, а также вносить под знак предела. Иными словами, умножение на постоянную и переход к пределу можно менять местами.
Доказательство. Оно состоит в последовательном 
-кратном применении теоремы 2.8 к слагаемым 
, предел которых, согласно предыдущему следствию, равен 
.
В качестве частного случая можно рассмотреть предел разности двух функций. Разность 
можно представить в виде 
и применить следствие 2.5 к этой сумме из двух слагаемых. Получим тогда, что
всех функций, заданных на фиксированном окончании 
базы и имеющих предел при базе -- это линейное пространство, а во-вторых -- что операция взятия предела 
-- это линейное отображение линейного пространства в линейное пространство вещественных чисел 
. Попросту: переход к пределу сохраняет суммирование и умножение на постоянные. Предел отношения двух функций 
, в отличие от суммы, разности и произведения, не обязательно равен отношению пределов числителя и знаменателя , даже если пределы 
и 
существуют. Дело в том, что предел знаменателя может равняться нулю, и отношение пределов тогда не имеет смысла, в то время как предел отношения 
при этом вполне может существовать. Приведём такой простейший пример:
, 
и взята база 
. Тогда, очевидно, 
, 
и отношение пределов 
не имеет смысла. При этом 
при 
и предел отношения существует: 
. Оказывается, условия 
, которое обеспечивает то, что отношение пределов имеет смысл, -- этого условия достаточно для того, чтобы предел отношения двух функций был равен отношению их пределов. Ниже мы докажем соответствующую теорему, а пока докажем такое вспомогательное утверждение.
существует предел 
. Тогда функция 
определена на некотором окончании этой базы и локально ограничена при этой базе. Доказательство. Возьмём положительное число 
. По определению предела, в базе найдётся такое окончание , что при всех 
будет 
. Это неравенство можно привести к виду
При 
это неравенство означает, что 
; так как 
, то и 
при всех и, следовательно, функция определена во всех точках окончания и удовлетворяет неравенству
неравенство (2.2) означает, что 
; так как 
, то и 
при всех и, опять-таки, функция определена во всех точках окончания ; она удовлетворяет неравенству 
определена во всех точках и при этих 
удовлетворяет неравенству 
, что означает локальную ограниченность функции при базе . На основе этой леммы мы докажем обещанное выше утверждение о пределе отношения.
существуют пределы 
и 
, причём 
. Тогда функция 
определена на некотором окончании базы , существует предел , и 
, то есть предел отношения равен отношению пределов числителя и знаменателя. Доказательство. Представим отношение в виде 
, в котором и первый, и второй множители определены на некотором окончании базы (относительно второго множителя см. предыдущую лемму). Поэтому и исходное отношение имеет смысл при всех .
Утверждение о том, что 
, эквивалентно тому, что разность 
-- бесконечно малая величина. Приводя эту разность к общему знаменателю, получим, что 
. Величина 
-- постоянная и, следовательно (см. пример 2.11), локально ограничена; функция 
-- тоже локально ограничена при базе (по предыдущей лемме). Значит, с учётом предложения 2.1 и теоремы 2.7, будет доказано, что величина 
бесконечно малая, если мы покажем, что бесконечно мала при базе величина 
. Найдём предел этой величины. По свойству линейности предела ( следствие 2.5)
бесконечно мала.
, то есть на 
, и получим предел 
и 
(здесь мы применили теорему о пределе произведения для последнего слагаемого) и, следовательно, 
(здесь мы воспользовались линейностью предела). Поскольку предел знаменателя оказался не равен 0, то можно применить теорему о пределе отношения и получить, что  |
Предел числителя, равный 2, мы нашли аналогично пределу знаменателя, пользуясь линейностью предела.
Итак,
Заметим, что предел отношения многочленов оказался равен отношению коэффициентов при старшей степени , то есть, в данном случае, при .
Аналогично решаются и другие примеры на вычисление пределов отношения двух многочленов при 
, а также пределов отношения некоторых других функций, например, связанных с корнями из многочленов.
(под знаком корня в знаменателе для этого придётся поделить на ): 
, то подкоренное выражение стремится к 4, а весь знаменатель -- к 
.6 Предел знаменателя оказался отличен от 0, поэтому предел отношения равен отношению пределов. Найдём предел числителя. Поскольку 
при всех 
(так как показатель степени отрицателен), то величина 
локально ограничена при базе 
и поскольку величина 
-- бесконечно малая при этой базе, то произведение 
также бесконечно мало, то есть стремится к 0 при . Значит, предел числителя равен 
Ответ: 
; 
; 
.
Указания: поделите числитель и знаменатель дроби в первом примере на 
, во втором -- на и в третьем -- на 
. Во втором примере воспользуйтесь тем, что 
и 
-- величины, ограниченные при всех (и, следовательно, локально ограниченные при любой базе).
, 
и 
, при всех из некоторого окончания 
базы связанные неравенством 
и имеют общий предел при базе : 
также имеет предел при базе , равный тому же числу : 
Доказательство. Согласно определению предела, для любого 
найдутся такие окончания базы 
и 
, что при 
выполняется неравенство
-- неравенство 
при всех выполняются неравенства 
равен . 
и 
и пьяный 
движутся в участок (Происхождение названия теоремы таково: пусть график функции 
-- это траектория движения первого милиционера в участок, график 
-- второго милиционера туда же, а график 
-- траектория движения нетрезвого гражданина, находящегося, в соответствии с неравенством
между двумя милиционерами. Тогда и этот гражданин неизбежно придёт туда же, в участок .)
при всех из некоторого окончания базы и существует . Тогда 
. Иными словами, при переходе к пределу знак нестрогого неравенства сохраняется. Доказательство. Если бы предел был отрицательным, то можно было бы взять 
и найти такое окончание базы , что при выполняется неравенство 
, откуда 
. Это же будет выполнено на некотором окончании 
, что противоречит предположению, что при всех . Противоречие доказывает, что отрицательным предел быть не может, то есть .
при всех из некоторого окончания базы и существует . Тогда 
. Доказательство. Для доказательства достаточно взять функцию 
, применить к ней доказанную только что теорему и воспользоваться тем, что знак минус можно вынести за знак предела (по свойству линейности предела).
из некоторого окончания базы выполняется неравенство 
. Предположим, что существуют пределы 
и 
. Тогда 
(то есть значения пределов связаны тем же нестрогим неравенством, что и функции). То же верно для нестрогого неравенства 
. Доказательство. Рассмотрим функцию 
. По условию теоремы, 
, причём
теорему о пределе неотрицательной величины и получим, что 
, то есть 
, что и требовалось доказать. Для другого нестрогого неравенства доказательство аналогично.
и 
) неверны. Для того, чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть предел 
. Очевидно, он равен 0, хотя при любом из любого окончания 
базы 
величина строго положительна. 
Напомним, что функция называется не убывающей на множестве 
, если для любых 
, таких что 
, выполняется неравенство 
, и не возрастающей на 
, если при и выполняется неравенство 
.
, , 
, которую обозначим . Пусть функция не убывает на некотором окончании базы и ограничена сверху на этом окончании, то есть существует такая постоянная , что 
при всех . Тогда существует предел , причём 
. 
Доказательство этой теоремы достаточно сложно; оно основывается на довольно тонких свойствах системы вещественных чисел, а именно, на том, что у ограниченного снизу множества чисел 
, где числа ограничивают функцию сверху, существует точная нижняя грань 
; она-то и будет пределом неубывающей функции.
Мы ограничимся здесь этим замечанием и поясняющим рисунком, а за подробным доказательством отошлём читателя к полному курсу математического анализа, например, книгам: Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1 или С. М. Никольский, Курс математического анализа, т. 1.
Имеют место также утверждения, получающиеся из теоремы о пределе монотонной функции сменой знака функции или заменой координаты 
:
, 
, 
, которую обозначим . Пусть функция не возрастает на некотором окончании базы и ограничена снизу на этом окончании, то есть существует такая постоянная , что 
при всех 
. Тогда существует предел 
, причём 
. 
, 
, которую обозначим . Пусть функция не убывает на некотором окончании базы и ограничена снизу на этом окончании, то есть существует такая постоянная , что 
при всех . Тогда существует предел , причём 
. 
, 
, которую обозначим . Пусть функция не возрастает на некотором окончании базы и ограничена сверху на этом окончании, то есть существует такая постоянная , что 
при всех . Тогда существует предел , причём 
. 
