‹-- Назад
Сравнение бесконечно малых
и на некотором её окончании 
заданы две функции 
и 
, бесконечно малые при базе . Предположим также, что 
при всех 
. Пусть существует 
, то бесконечно малая имеет тот же порядок малости, что и . Этот факт обозначается так: 
Если же 
, то имеет больший порядок малости, чем . Это обозначается так:
Заметим, что если 
, то для всех 
из некоторого окончания 
базы будет выполнено неравенство 
. Это сразу следует из того, что 
бесконечно малая имеет тот же порядок малости, что , то и имеет тот же порядок малости, что , то есть  | (S) |
Если две бесконечно малых и одного порядка малости, и две бесконечно малых и 
тоже одного порядка малости при базе , то две величины и также имеют один и тот же порядок малости при базе , то есть
 | (T) |
Кроме того, бесконечно малая величина имеет тот же порядок малости, что она же сама:
 | (R) |
Доказательство. Поскольку 
то 
, откуда следует первое из доказываемых утверждений.
Второе утверждение следует из первого и цепочки равенств
Наконец, третье утверждение сразу следует из очевидного соотношения 
Итак, свойство двух или нескольких бесконечно малых величин иметь один и тот же порядок малости, то есть отношение 
, заданное в множестве бесконечно малых при данной базе величин 
, является рефлексивным, транзитивным и симметричным.
Рефлексивность какого-либо отношения 
, заданного в некотором множестве объектов 
, означает, что выполнено свойство
(R): 
,
транзитивность -- что выполнено свойство
(T): 
,
а симметричность -- что выполнено свойство
(S): 
.
Любое рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение разбивает множество объектов, для которых оно определено, на классы объектов, эквивалентных по данному отношению: в один класс с объектом 
попадают все объекты 
, для которых 
.
Поэтому все бесконечно малые при данной базе величины разбиваются на классы по отношению , в каждый из которых входят все величины, имеющие один и тот же порядок малости.
величины 
и 
, где 
и 
, 
, имеют один и тот же порядок малости (так как, очевидно, их отношение постоянно и его предел 
постоянно и его предел равен 
. Например, при величины 
и 
имеют один и тот же порядок малости. При базе 
величина 
имеет больший порядок малости, чем 
, при 
:
. Если степени и определены и при 
, то аналогичное утверждение верно и для двусторонней базы . Например, при величина 
-- большего порядка малости, чем 
. При величина 
-- большего порядка малости, чем , а -- величина большего порядка малости, чем 
.
, 
, 
являются бесконечно малыми при базе 
. Так как нетрудно проверить, что 
и 
имеют один и тот же порядок малости при . Поскольку
имеет больший порядок малости, нежели , и не относится к тому классу, к которому принадлежат и .
и 
и 
имеют один и тот же порядок малости при .
имеет при базе больший порядок малости, чем , а -- такой же порядок малости, что и , то имеет больший порядок малости, чем . Доказательство. Для доказательства напишем такую цепочку равенств:
и 
, то -- величина большего порядка малости, чем 
.
и -- бесконечно малые при базе и 
называется эквивалентной бесконечно малой при базе . Это обозначается следующим образом: 
Очевидно, что если величина эквивалентна величине , то они имеют один и тот же порядок малости (так как при этом 
). Кроме того, свойство двух бесконечно малых величин быть эквивалентными, то есть отношение 
, (так же, как и отношение ) рефлексивно, транзитивно и симметрично. А именно, имеет место
бесконечно малая эквивалентна бесконечно малой , то и эквивалентна :  | (S ) |
Если две бесконечно малых и эквивалентны, и две бесконечно малых и тоже эквивалентны при базе , то две величины и также эквивалентны при базе :
 | (T) |
Кроме того, величина эквивалентна себе самой:
 | (R) |
Доказательствоповторяет доказательство предложения 2.2. Нужно только учесть, что 
.
Итак, отношение эквивалентности обладает свойствами симметричности (S), транзитивности (T) и рефлексивности (R) и, следовательно, разбивает множество всех бесконечно малых при данной базе величин на классы эквивалентных между собой бесконечно малых. Эти классы более мелкие, чем классы бесконечно малых величин одного порядка малости, на которые то же самое множество бесконечно малых разбивается отношением .
Это означает, что 
Кроме того, в примере 2.20 мы показали, что 
Это означает, что
Польза для вычисления пределов от использования эквивалентности бесконечно малых, а также от бесконечно малых большего порядка выражается следующими утверждениями.
где и -- бесконечно малые при базе . Пусть также 
и 
. Тогда существует предел 
можно заменять на эквивалентные им бесконечно малые: величина предела от этого не изменится. Доказательство. Для доказательства напишем такое равенство:
и 
, и 
означает, что первый и последний пределы в правой части этой формулы равны 1. Совершенно так же доказывается уточнение доказанного только что предложения. Это уточнение означает, что заменять эквивалентными можно не только числитель или знаменатель целиком, но и любой бесконечно малый множитель в числителе или знаменателе:
, 
и существует предел 
и можно заменить на эквивалентные, и значение предела не изменится, то есть 
, 
и существует предел 
. Тогда существует предел 
величина предела от этого не изменится. Доказательство. Согласно предложению 2.5, достаточно доказать, что если , то 
. Но это следует из такой цепочки равенств:
Для этого заметим, что, как мы проверяли выше, -- величина большего порядка малости, чем . Аналогично проверяется, что 
-- величина большего порядка малости, чем 
. Поскольку слагаемые большего порядка малости можно отбросить, то
, очевидно, эквивалентен 
(согласно первому замечательному пределу), а эквивалентен 
, то последний предел можно упростить, заменив бесконечно малые в числителе и знаменателе на эквивалентные им, а затем сократить на : 
При вычислении пределов часто бывают полезны также следующие два утверждения.
и . Тогда: 1)
и
2)
при любом 
(в случае, если степень 
определена только при 
, нужно потребовать, чтобы выполнялось неравенство 
. (Заметим, что второе утверждение не следует из первого, поскольку 
-- не обязательно целое число.)
Доказательство. Первое утверждение означает, согласно определению эквивалентности, что
Второе утверждение означает, что
непрерывна при любом 
, если . Как отмечалось выше, для непрерывной функции можно переставлять местами знак функции и знак предела: 
, сделав замену переменного 
и связанную с ней замену базы, мы получим, что 
, получаем, что 
