‹-- Назад
Несобственные интегралы второго рода
Пусть на полуинтервале 
задана функция 
, интегрируемая на любом отрезке 
, где 
, однако не интегрируемая на отрезке 
. В точке 
эта функция может быть вовсе не определена и стремиться к 
при 
, любо вовсе не иметь никакого предела при этой базе. Рассмотрим функцию
. Эта функция 
может иметь предел при 
(левосторонний предел). Этот предел мы будем называть значением интеграла от по всему полуинтервалу и обозначать в точности как обычный интеграл:
Итак, дадим такое определение:
удовлетворяет указанным выше условиям на . Несобственным интегралом второго рода назовём тогда интеграл
которого равняется левостороннему пределу
Геометрически вычисление несобственного интеграла второго рода представляет собою (при 
) исчерпание плошади неограниченной фигуры под графиком функции 
над с помощью вычисления плошадей ограниченных фигур, получающихся над отрезком , а затем приближением правого конца 
к точке (см. рис.).
Итак, площадь неограниченной фигуры, изображённой на рисунке, по определению равна значению несобственного интеграла
.
фигуры, расположенной под графиком функции 
над промежутком 
. (Заметим, что функция не определена при 
и стремится к 
при 
, так что указанная фигура -- неограниченная и площадь задаётся несобственным интегралом второго рода (см. рис.):
Возьмём
и вычислим обычный (собственный) определённый интеграл
как подстановку с верхним предельным значением :
. При таком обозначении запись вычисления в предыдущем при=мере выглядит так:
, которую мы использовали для вычисления подстановки, непрерывна слева в точке 
.
от функции с особенностью в точке , определяется несобственный интеграл второго рода от функции 
, имеющей особенность в точке 
полуинтервала 
:
, то несобственный интеграл от функции, имеющей особенность в правом конце промежутка интегрирования, переходит в несобственный интеграл от функции с особенностью в левом конце промежутка, и наоборот (проверьте это утверждение, сделав замену в интеграле , где 
при ). Поэтому свойства несобственных интегралов второго рода достаточно устанавливать лишь в каком-нибудь одном случае, например, в случае особенности в правом конце промежутка, а свойства интегралов с особенностью функции в левом конце будут получаться очевидными переформулировками.
, то подынтегральная функция 
стремится к при 
, так что получается несобственный интеграл второго рода. Рассмотрим такие случаи:
1) 
. Тогда интеграл вычисляется так:
имеем 
и 
2) 
. Тогда
при . 3) 
. Тогда
при , если показатель 
. Заметим также, что при 
интеграл не является несобственным: это обычный (то есть собственный) интеграл от непрерывной ограниченной функции. Единственная неприятность получается при 
, поскольку тогда подынтегральная функция 
не определена при 
(и тождественно равна 1 при 
). Но мы знаем, согласно одному из свойств определённого интеграла, что значение подынтегральной функции в одной точке можно изменить без изменения значения интеграла. Так что достаточно переопределить значение в 0, положив 
и получив собственный интеграл 
и расходится при 
.
