‹-- Назад
Гипербола
Из школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением
, где 
-- число, называется гиперболой. Однако это -- частный случай гиперболы (равносторонняя гипербола).
Так же, как и в случае эллипса, для получения уравнения гиперболы выберем подходящую систему координат. Начало координат расположим на середине отрезка между фокусами, ось 
направим вдоль этого отрезка, а ось ординат -- перпендикулярно к нему.
и 
гиперболы равно 
, а абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна 
. Тогда гипербола в выбранной выше системе координат имеет уравнение 
где
-- текущая точка гиперболы (рис. 12.9).
Так как разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны, то 
, то есть 
, 
. В силу последнего неравенства вещественное число 
, определяемое формулой (12.9), существует.
По условию, фокусы -- 
, 
. По формуле (10.4) для случая плоскости получаем
и получим уравнение (12.8) Уравнение (12.8) называется каноническим уравнением гиперболы.
и 
, а начало координат -- центр симметрии гиперболы. Проведем построение гиперболы, заданной уравнением (12.8). Заметим, что из-за симметрии достаточно построить кривую только в первом координатном угле. Выразим из канонического уравнения 
как функцию 
, при условии, что 
,
Область определения -- интервал 
, 
, функция монотонно растет. Производная
. Следовательно, график -- гладкая кривая (без углов). Вторая производная
отрицательна, следовательно, график -- выпуклый вверх. Проверим график на наличие асимптоты при 
. Пусть асимптота имеет уравнение 
. Тогда по правилам математического анализа
. Получим
. Из симметрии гиперболы следует, что 
-- тоже асимптота. Остается неясным характер кривой в окрестности точки 
, а именно, образует ли график 
и симметричная ему относительно оси часть гиперболы в этой точке угол или гипербола в этой точке -- гладкая кривая (есть касательная). Для решения этого вопроса выразим из уравнения (12.8) через :
, 
, и в точке у гиперболы есть вертикальная касательная. По полученным данным рисуем график функции 
(рис. 12.10).
Окончательно, используя симметрию гиперболы, получаем кривую рисунка 12.11.
называются вершинами гиперболы, отрезок между ними называется действительной осью гиперболы. Отрезок оси ординат между точками 
и 
называется мнимой осью. Числа и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Начало координат называется ее центром. Величина 
называется эксцентриситетом гиперболы.
, то есть у гиперболы 
. Эксцентриситет 
характеризует угол между асимптотами, чем ближе к 1, тем меньше этот угол.
и может быть произвольным. В частности, при 
мы получим равностороннюю гиперболу, известную из школьного курса математики. Ее уравнение имеет знакомый вид 
, если взять 
, а оси 
и 
направить по биссектрисам четвертого и первого координатных углов (рис. 12.12).
Для отражения на рисунке качественных характеристик гиперболы достаточно определить ее вершины, нарисовать асимптоты и нарисовать гладкую кривую, проходящую через вершины, приближающуюся к асимптотам и похожую на кривую рисунка 12.10.
, найдите ее фокусы и эксцентриситет. Решение. Разделим обе части уравнения на 4. Получим каноническое уравнение
, 
. Проводим асимптоты 
и строим гиперболу (рис. 12.13).
Из формулы (12.9) получим 
. Тогда фокусы -- 
, 
, 
.
. Найдите ее фокусы и эксцентриситет. Решение. Преобразуем уравнение к виду
и 
противоположны знакам в каноническом уравнении. Однако, если переобозначить переменные 
, 
, то в новых переменных получим каноническое уравнение
, то есть на оси исходной системы координат, асимптоты имеют уравнение 
, то есть уравнение 
в исходных координатах. Действительная полуось равна 5, мнимая -- 2. В соответствии с этими данными проводим построение (рис. 12.14).
Из формулы (12.9) получим 
, 
, фокусы лежат на действительной оси -- 
, 
, где координаты указаны в исходной системе координат.
