mathserfer.narod.ru

Теория по высшей математике

‹-- Назад

Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников

Будем предполагать, что функция имеет на отрезке интегрирования вторую производную , и непрерывна на , причём

Для метода центральных прямоугольников представим ошибку в виде суммы ошибок на каждом отрезке разбиения:

По формуле Тейлора, применённой к функции в точке , получаем для :

где  -- некоторая точка, лежащая между и .

Заметим, что

поскольку  -- середина отрезка интегрирования в этом интеграле. Получаем тогда, что

где . Таким образом, суммируя по всем отрезкам разбиения, получаем оценку ошибки:

Если все отрезки разбиения имеют одинаковую длину , то получаем

или

Следовательно, при уменьшении вдвое шага разбиения , то есть при удвоении числа шагов , оценка возможной ошибки уменьшается вчетверо, а при уменьшении шага в 10 раз оценка ошибки уменьшается в раз. Квадратурную формулу, обладающую таким свойством ошибки, называют формулой второго порядка точности. Итак, формула центральных прямоугольников -- формула второго порядка точности.

Покажем, что формула трапеций также имеет второй порядок точности.

Рассмотрим снова рис. 5.5.. Прямая, соединяющая концы хорды графика, то есть точки и , имеет уравнение

Действительно, это равенство задаёт линейную функцию, и легко проверить, что и . Разность между площадью под графиком функции на отрезке и площадью трапеции равняется тогда

Докажем, что стоящая под знаком последнего интграла разность удовлетворяет оценке

при всех . Эта оценка получается как следствие такой теоремы.

        Доказательство.     Очевидно, что при и равенство (5.1) выполняется, как бы ни была выбрана точка , поскольку и левая, и правая части равенства обращаются тогда в ноль. Пусть теперь точка не совпадает ни с , ни с . Рассмотрим вспомогательную функцию

зависящую от параметра , и выберем значение так, чтобы было выполнено равенство . Легко видеть, что для этого нужно взять Тогда

Функция обращается в 0 в трёх точках: и . Значит, по теореме Ролля, её производная обращается в 0 в каких-то двух точках и . Применяя снова теорему Ролля, теперь уже к производной на отрезке , получаем, что обращается в 0 в некоторой точке . Однако функцию легко вычислить:

так как вторая производная линейной функции равна 0. Таким образом, , и

Остаётся заметить, что точка выбиралась как произвольная точка интервала , и доказательство завершено.     

Возвращаемся к изучению ошибки формулы трапеций и связанным с этим обозначениям.

        Доказательство.     Применим формулу (5.1) к функции и отрезку и получим:

Здесь мы заметили, что и  -- корни квадратного трёхчлена , так что на отрезке между корнями квадратный трёхчлен не больше нуля, и поэтому

    

Ошибку на -м отрезке разбиения мы можем теперь оценить так:

(последний интеграл легко вычисляется).

Просуммируем теперь оценки ошибок на каждом отрезке разбиения и получим оценку ошибки всей квадратурной формулы трапеций:

Если длины всех отрезков разбиения взяты одинаковыми, равными , то полученная оценка даёт

Оценки ошибок и , как мы видим, отличаются ровно в два раза. Выше мы отмечали, что эти ошибки имеют противоположные знаки, если функция сохраняет знак на отрезке интегрирования. Значит, на каждом отрезке знакопостоянства функции ошибки и будут примерно компенсировать друг друга. Подобно тому как мы получили формулу трапеций из формул левых и правых прямоугольников, попробуем получить усреднённую квадратурную формулу, скомбинировав формулы центральных прямоугольников и трапеций; при этом нас подогревает надежда на то, что новая формула будет иметь существенно меньшую ошибку. Умножая на , для того чтобы уравновесить ошибки противоположных знаков, получаем:

Преобразуем полученную квадратурную формулу, рассмотрев, из каких слагаемых состоит её правая часть. Величины, соответствующие приближённым значениям интеграла по отрезку разбиения , дают

Суммируя эти величины по всем отрезкам разбиения, получаем квадратурную формулу:

Ниже мы увидим, что эта формула в точности совпадает с формулой Симпсона.