mathserfer.narod.ru

Теория по высшей математике

‹-- Назад

Квадратурная формула Симпсона (формула парабол)

При выводе двух предыдущих квадратурных формул мы приближали график подынтегральной функции на каждом из отрезков разбиения прямой линией: либо касательной в формуле центральных прямоугольников, либо хордой в формуле трапеций. Очередным по сложности шагом является выбор приближения графика функции в виде параболы -- графика некоторого квадратного трёхчлена . Его вид, конечно, будет зависеть от отрезка , на котором мы выбираем приближение.

Выберем, например, такой квадратный трёхчлен , чтобы его значения в точках и совпадали со значениями функции в этих же точках:

Напомним, что через мы обозначали середину отрезка , то есть Функцию можно записать в виде

действительно, раскрыв скобки, получим некоторый квадратный трёхчлен. Подберём числа так, чтобы выполнялись равенства (5.3). Положим , тогда и . Подставим в выражение для и получим:

то есть

Подстановка даёт

откуда

Наконец, подставим и получим

откуда

Вычислим теперь интеграл от интерполяционной функции , для чего сделаем в нём замену :

Осталось просуммировать эти величины по всем отрезкам разбиения. При этом получаем квадратурную формулу, которая называется формулой Симпсона, или формулой парабол:

Нетрудно видеть, что это в точности та же "комбинированная" квадратурная формула (5.2), которую мы получили выше из формул центральных прямоугольников и трапеций.

Если при применении формулы Симпсона взять все отрезки разбиения одинаковой длины , то формула Симпсона получает вид

Раскрыв скобки и объединив одинаковые слагаемые, можно легко привести эту формулу к виду

Действительно, слагаемые с целыми номерами (кроме и ) входят по одному разу в каждое их двух соседних слагаемых в сумме (5.4), так что для них получается сумма с коэффициентом 2.

Оценка ошибки формулы Симпсона, то есть величины , такова. Предположим, что функция имеет на отрезке непрерывную четвёртую производную , причём

при всех . Тогда при выборе постоянного шага имеет место неравенство

Таким образом, формула Симпсона -- это квадратурная формула четвёртого порядка точности. Это означает, что при уменьшении шага вдвое ошибка уменьшится примерно в раз, а при уменьшении шага в 10 раз ошибка уменьшится примерно в раз.

Доказательство приведённой оценки для формулы Симпсона можно найти, например, в книге
Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. -- М.: Наука, 1987.