‹-- Назад
Площадь поверхности вращения
Рассмотрим линию
в плоскости 
, представленную как график функции 
на отрезке 
оси 
. Предположим, что функция 
имеет на отрезке непрерывную производную 
. Пусть поверхность 
получена как результат вращения в пространстве 
линии вокруг оси (см. рис.). Наша цель -- найти площадь 
поверхности вращения (сделанное построение и полученная при этом формула будут одновременно служить и определением того, что такое площадь поверхности ).
Пусть
-- площадь той части поверхности , что проектируется на отрезок 
, лежащий на оси . Очевидно тогда, что 
и что 
-- это искомая площадь. Найдём производную функции , применив для этого определение производной. Придадим значению 
переменной 
некоторое приращение 
и рассмотрим приращение функции 
. Это приращение равно площади части поверхности между сечениями этой поверхности плоскостями 
и 
(если 
, то нужно вдобавок поменять знак). Далее для простоты выкладок будем предполагать 
. Приближённо заменим площадь на площадь 
боковой поверхности усечённого конуса, образующей которого служит хорда графика , соединяющая точки 
и 
в плоскости .
Тогда
и 
(мы применили к разности 
, стоящей под знаком корня, теорему Лагранжа). Запишем теперь в виде
Во второй и третьей строках этой формулы бесконечно малыми более высокого порядка малости (при 
), чем 
. Действительно, 
при , а величина 
ограничена в силу непрерывности функции и её производной . Далее, из непрерывности следует, что 
при , а из непрерывности -- что величина 
ограничена. Следовательно, слагаемое в первой строке формулы -- это главная, линейная по , часть приращения , и вместе с ним -- главная часть приращения функции . Напомним теперь, что главная, линейная по часть приращения функции -- это её дифференциал. Значит,
на (ведь -- произвольная точка ) и на 
, получаем:
, получаем:
равным 
, находим искомую площадь 
поверхности вращения: 
(мы снова использовали
как обозначение переменной интегрирования).
величину на , а затем перешли к пределу при . Это соответствует тому, как если бы мы составили интегральную сумму для функции 
(эта интегральная сумма, построенная по размеченному разбиению на отрезки длины 
, точками разметки в котором служат 
, приближённо заменяет нам площадь поверхности тела вращения), а затем перешли к пределу при неограниченном измельчении разбиения и получили в пределе равенство (6.10). Такой путь получения формулы (6.10) привёл бы нас к несколько более громоздким выкладкам, хотя и эквивалентен тому, что был использован выше.
поверхности, образованной вращением в пространстве вокруг оси части линии 
, расположенной над отрезком 
оси . 
Так как
, то формула (6.10) даёт нам интеграл
и получим:
:
и проинтегрируем по частям, получив уравнение для , как в примере 6.6:  | |
 | |
 |
Перенося
в левую часть и деля на 2, получаем
