‹-- Назад
Примеры и задачи
ограниченной области, лежащей между осью 
и линией 
. Поскольку 
линия пересекает ось в трёх точках: 
, 
, 
.
Ограниченная область между линией и осью
проектируется на отрезок 
, причём на отрезке 
линия идёт выше оси (то есть линии 
), а на 
-- ниже. Поэтому площадь области можно подсчитать так:  | |
 |
области, заключённой между первым и вторым витком спирали Архимеда 
(
) и отрезком горизонтальной оси 
. 
Первый виток спирали соответствует изменению угла
в пределах от 0 до 
, а второй -- от до 
. Чтобы привести изменение аргумента к одному промежутку, запишем уравнение второго витка спирали в виде 
, 
. Тогда площадь можно будет найти по формуле (6.4), положив 
и 
:  | |
 |
тела, ограниченного поверхностью вращения линии 
вокруг оси (при 
). 
Для вычисления объёма тела вращения применим формулу
 | |
 |
дуги линии 
, расположенной между прямыми 
и 
. 
Так как
, а не 
, поскольку 
при 
), длина дуги равна  | |
 | |
 |
Ответ: 
поверхности вращения, полученной при вращении дуги циклоиды 
, при 
, вокруг оси . 
Для вычисления применим формулу (6.10):
, 
, так что
заметим, что при 
получаем , а также
) и
, приходим к интегралу  | |
 |
