‹-- Назад
Достаточные условия локального экстремума
В предыдущих примерах мы видели, что хотя необходимое условие не гарантировало наличие экстремума в критической точке, мы смогли исследовать поведение функции в окрестности этой точки и выяснить, имеется ли в ней экстремум и если да, то какого рода. Однако для выяснения этого нам пришлось иной раз прибегать к искусственным преобразованиям функции, которые во общем случае могут быть не очевидны или затруднительны. В данном разделе мы рассмотрим несколько общих теорем, позволяющих исследовать поведение функции в критической точке.
-- критическая точка функции 
. Если функция не убывает в некоторой левой окрестности 
точки и не возрастает в некоторой её правой окрестности 
, то точка -- точка локального максимума. Если же функция не возрастает в некоторой левой окрестности 
и не убывает в некоторой правой окрестности 
, то точка -- точка локального минимума.
Доказательство. Если не убывает в 
, то 
при всех 
, поскольку из непрерывности 
. Точно так же, при всех 
. Выберем из чисел 
и 
наименьшее: 
и рассмотрим симметричную окрестность 
. При 
, очевидно, 
, то есть -- точка локального максимума.
Вторая половина утверждения теоремы сводится к первой, если положить 
и заметить, что функция 
не убывает в и не возрастает в 
; локальный максимум функции соответствует локальному минимуму функции 
.
. Однако оно не является необходимым: можно найти такую функцию , которая имеет экстремум (например, минимум) в некоторой точке , однако не монотонна ни в какой левой окрестности и ни в какой правой окрестности этой точки. Примером может служить функция 
и 
и в окрестности точки 0 имеет бесконечно много промежутков монотонности, разделённых стационарными точками, так что не монотонна ни на каком интервале вида 
или 
. В точке 0 функция непрерывна (по теореме "о двух милиционерах") и имеет минимум, так как при всех 
. Заметим кстати, что производная этой функции равна
разрыв второго рода.
-- критическая точка функции , и у этой функции существует производная 
в некоторой проколотой окрестности 
. Если при этом в левой окрестности 
имеет место неравенство 
, а в правой окрестности 
-- неравенство 
, то точка -- точка локального максимума; если же в левой окрестности выполнено неравенство , а в правой окрестности -- неравенство , то точка -- точка локального минимума. Наконец, если производная в левой и в правой окрестности имеет один и тот же знак, то точка не является точкой локального экстремума. Доказательство. Доказательство первых двух утверждений теоремы сразу же следует из предыдущей теоремы и теоремы 7.2 о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции: из неравенства следует неубывание функции , а из неравенства -- её невозрастание. Последнее утверждение теоремы также очевидно.
Доказанную теорему можно сформулировать следующим образом:
если производная меняет знак с 
на 
при переходе через критическую точку , то в этой точке -- локальный максимум функции ; если знак производной меняется с на , то в точке -- локальный минимум; если же знак производной при переходе через не изменяется, то локального экстремума в точке функция не имеет.
Следующая теорема позволяет обойтись для обнаружения экстремума исследованием функции только в точке (а не в её окрестности, как предыдущие теоремы), но зато требует привлечения второй производной.
-- стационарная точка функции , и в этой точке существует вторая производная 
, причём 
. Тогда при 
точка есть точка локального максимума, а при 
-- локального минимума. Доказательство. Поскольку 
, то по определению производной
. Тогда из существования предела следует, что для любого 
из некоторой достаточно малой проколотой окрестности 
точки выполняется то же неравенство для допредельного выражения, то есть 
. Поскольку, по предположению теоремы, -- стационарная точка, то 
, откуда 
, то есть имеет знак, противоположный знаку 
: 
при 
и 
при 
. Остаётся лишь применить теперь предыдущую теорему, из которой следует, что -- точка локального максимума. Доказательство для случая совершенно аналогично.
. Её производная равна 
; решая уравнение 
, находим стационарные точки функции : это 
. Чтобы определить поведение функции в этих стационарных точках, найдём вторую производную и выясним, какой она имеет знак в каждой из этих трёх точек. Имеем: 
. Отсюда 
, следовательно, в точке 
функция имеет локальный минимум; то же в точке 
, поскольку 
также равняется 8. В каждой из этих двух точек значение функции равно 
. В точке 
получаем 
, поэтому в точке 0 функция имеет локальный максимум. Значение в этой точке равно 0.
в случае, когда 
. В этом случае в точке может быть как локальный экстремум (возможен и максимум, и минимум), так и не быть экстремума. В этом нас убеждают следующие три примера.
имеет единственную стационарную точку 
. Вторая производная 
принимает в этой точке значение 0, сама же функция не имеет экстремума в точке 0. 
не имеет экстремума в стационарной точке 0
также имеет единственную стационарную точку 
. Вторая производная 
принимает в этой точке значение 0, сама же функция имеет в точке 0 минимум. 
имеет минимум в стационарной точке 0, в которой 
также имеет единственную стационарную точку . Её вторая производная 
принимает в стационарной точке значение 0, а сама функция имеет в этой точке максимум. 
имеет максимум в стационарной точке 0, в которой Для того, чтобы разобраться в поведении функции в такой стационарной точке , в которой , можно применить такую теорему:
имеет 
-ю производную в некоторой окрестности точки и эта производная 
непрерывна в точке . Предположим, что 
-- нечётное, то в точке функция не имеет локального экстремума; если же число -- чётное, то при 
в точке функция имеет локальный максимум, а при 
-- локальный минимум. Доказательство. Для доказательства заметим, что если разложить по формуле Тейлора в точке с остаточным членом в форме Лагранжа, то получим
лежит между 
и ), поскольку слагаемые со степенями бинома , меньшими , имеют, по предположению, нулевые коэффициенты. Следовательно, приращение функции 
можно представить в виде 
и непрерывна в точке , то в некоторой окрестности точки она сохраняет тот же знак, что у числа , в частности, знак числа 
при , близких к , -- тот же, что у числа 
. Мы видим, что при нечётном приращение 
меняет знак при переходе через точку , поскольку меняет знак множитель 
в правой части. Значит, в этом случае локального экстремума в точке нет.
При чётном этот множитель положителен при всех , следовательно, приращение (при малых 
) имеет тот же знак, что и : 
при (неравенство означает, что -- точка локального максимума) и 
при (неравенство означает, что -- точка локального минимума).
обращаются в 0, и тем не менее функция отлична от 0 всюду, кроме этой точки. Примером может служить функция, которую мы рассматривали в главе 6 (замечание 6.2): 
, характер которой нельзя распознать, применив теорему 7.8, поскольку 
при всех 
. Однако очевидно, что 
при всех , так что -- точка минимума функции . Кроме того, заметим, что может быть не выполнено предположение о непрерывности производной -го порядка в точке , даже если эта производная существует при всех . В качестве примера рассмотрите самостоятельно функцию
. Производная этой функции существует при всех и равна 
