‹-- Назад
Несобственные интегралы с несколькими особенностями
Рассмотрим функцию
и такой промежуток 
, на котором имеет несколько особенностей. Будем считать, что особенности имеются в тех точках промежутка, при приближении к которым функция имеет неинтегрируемые разрывы11, а также в 
и 
, если они являются концами рассматриваемого промежутка 
. Итак, пусть имеет особенности в 
, где, возможно, 
и 
, а все оставшиеся 
-- точки оси 
. Точки разбивают промежуток на части -- интервалы 
, где внутри интервалов функция уже не имеет особенностей, то есть интегрируема по любому отрезку 
. Если промежуток -- это отрезок 
и в точках 
и 
функция не имеет особенностей, то к интервалам добавляются ещё полуинтервалы 
и 
с особенностями только в точках 
и 
. Выберем в каждом из интервалов по точке 
. Тогда на полуинтервалах 
и 
функция имеет ровно по одной особенности -- в точке 
или соответственно. Присоединим, если нужно, к этим полуинтервалам ещё и и , то есть будем считать в этом случае 
и 
.
и выбор точек будем считать несобственный интеграл от по промежутку равным сумме несобственных интегралов по каждому из упоминавшихся выше полуинтервалов и , при условии, что все эти интегралы сходятся:
считается расходящимся. Заметим, что мы уже давали аналогичное определение в случае, когда 
и этот интервал разбивается точкой деления 
на две части, то есть особенности имеются только в и ( определение 4.3). Вслед за тем мы проверили, что величина интеграла при определении 4.3 не зависит от выбора точки деления 
. Аналогичный результат верен и для общего определения 4.9. Доказывается он точно так же, на основе свойства аддитивности определённого интеграла, поэтому мы опускаем доказательство.
функция 
имеет особенность в точке 
, поскольку 
при 
. Точка 
разбивает на две части: 
и 
, причём у каждого из этих полуинтервалов лишь один конец (а именно, 0) соответствует особенности функции. Согласно определению, нужно положить
, и проверять сходимость слагаемого 
уже нет нужды (на самом деле он тоже расходится). Заметим, что было бы абсолютно неверно "не заметить" особенность функции в точке 0 и необоснованно применить формулу Ньютона - Лейбница, которая верна только для непрерывных подынтегральных функций:
Мало того, что получился абсурдный результат: интеграл от положительной функции
оказался отрицательным, так ещё при таком "способе" счёта мы упустили, что на самом деле площадь под графиком 
бесконечна.
функция имеет две особенности -- в точках 
и 1. Поэтому нужно взять ещё точку на интервале между особенностями (возьмём 0 для симметричности), и отрезок разбивается на четыре части: 
, 
, 
и 
. Интегралы по этим отрезкам -- это несобственные интегралы второго рода, причём в силу чётности подынтегральной функции нам достаточно найти лишь 
и 
, а остальные два будут иметь те же значения:
, а на промежутке 
, так что
