‹-- Назад
Свойства несобственных интегралов первого рода
Напомним, что мы выяснили выше, что достаточно рассматривать только свойства интегралов вида 
, а свойства интегралов вида 
их будут повторять с очевидными исправлениями.
и функция 
интегрируема на любом отрезке 
, где 
. Тогда если несобственный интеграл сходится, то при любом 
сходится интеграл 
. Обратно, если при некотором сходится интеграл , то сходится и интеграл . Доказательство. Докажем, что из сходимости следует сходимость при . Из аддитивности интеграла следует, что при любом имеет место равенство
Переходя в этом равенстве к пределу при
, получаем: 
причём несобственный интеграл в правой части сходится по условию теоремы, а интеграл
вовсе не зависит от 
, то есть при вычислении предела при служит постоянным слагаемым. Значит, предел, задающий интеграл , существует (и равен 
), что доказывает сходимость интеграла . Доказано на самом деле даже больше: кроме самомго факта сходимости интеграла , мы доказали формулу (4.3).
Из той же формулы (4.2) следует и второе утверждение теоремы. Действительно, по условию теоремы интеграл по конечному отрезку 
существует, поскольку функция интегрируема, так что при любом 
из формулы (4.2) получаем:
 |
Отсюда переходом к пределу при
получаем, что  |
причём существование предела, задающего интеграл в левой части, следует из предположенной сходимости несобственного интеграла
в правой части.
никак не сказывается на сходимости (или расходимости) интеграла , а следовательно, и на факте сходимости (или, соответственно, расходимости) интеграла , хотя такое изменение может, конечно, привести к изменению значения этого интеграла.
и 
, заданные на 
, причём при всех 
выполняется неравенство
, следует сходимость интеграла от меньшей функции, , причём 
а из расходимости интеграла от меньшей функции,
, следует расходимость интеграла от большей функции, :
Доказательство. Поскольку 
, то функция 
не убывает (геометрически значение функции равно площади криволинейной трапеции, лежащей над отрезком , а эта площадь, очевидно, не убывает, если увеличивать ). Точно так же не убывает и функция 
, причём по теореме об интегрировании неравенства получаем: из 
следует, что
не убывает, то сходимость интеграла 
означает, что предел при существует и
. Поэтому 
при всех , то есть функция 
ограничена сверху постоянной 
. Но мы знаем, что неубывающая ограниченная сверху функция непременно имеет предел при , не больший ограничивающей постоянной: существует предел
означает, что доказано неравенство (4.4). Геометрически доказанное утверждение почти очевидно: оно означает, что если площадь под верхним графиком на следующем рисунке (она заштрихована), конечна, то конечна и имеет меньшее значение площадь под нижним графиком (она имеет двойную штриховку).
Доказательство второго утверждения теоремы сразу следует из первого утверждения по принципу "от противного": предположим, что интеграл от меньшей функции расходится. Если бы утверждение было неверно и интеграл от большей функции оказался бы сходящимся, то вместе с ним сходился бы и интеграл от меньшей функции, вопреки предположению. Значит, второе утверждение теоремы верно.
Геометрически оно означает, что если площадь, обозначенная на рисунке двойной штриховкой, бесконечна, то, тем более, бесконечна и вся заштрихованная площадь.
Доказанная теорема означает, что сходимость несобственного интеграла -- это такое свойство, которое выполняется "тем лучше", чем меньше значения подынтегральной функции (однако, заметим, эти значения должны быть неотрицательными)!
Если условие неотрицательности функций и 
не предполагается, то оба утверждения теоремы могут оказаться не верны: так, если взять 
и 
при всех 
, то интеграл от большей функции,
-- 
и рассмотрев его поведение при ). Тот же пример показывает, что если функции не неотрицательны, то из расходимости интеграла от меньшей функции может не следовать расходимость интеграла от большей.
в условии теоремы 4.2 достаточно не для всех , а начиная лишь с некоторого 
, и всё равно заключение теоремы будет верно (за исключением выполнения неравенства (4.4)). Действительно, согласно теореме 4.1, поведение функций и на отрезке не сказывается на сходимости интегралов 
и 
, а на промежутке 
условия теоремы уже выполнены, и к интегралам 
и 
её можно применить. При помощи теоремы 4.2 мы можем в некоторых случаях исследовать сходимость интеграла, не вычисляя его значения. Для доказательства сходимости интеграла от функции достаточно найти более простую функцию 
, для которой интеграл 
легко вычисляется и сходится. Согласно теореме, тогда исходный интеграл тоже сходится, причём мы получаем оценку его величины: 
. Если же нам нужно доказать расходимость интеграла , то достаточно найти такую (более просто устроенную) функцию 
, что 
и интеграл расходится.
Приведём примеры, показывающие этот приём в действии и разъясняющие, как определять, что же для данного интеграла нужно доказывать: сходимость или расходимость10.
-- неберущийся, то есть не выражается через элементарные функции. Так что надежды вычислить этот интеграл "в лоб", применив формулу Ньютона - Лейбница, нет.) Для сравнения выберем функцию 
, неопределённый интеграл от которой легко считается:
и , положительны. Покажем, что при достаточно больших имеет место неравенство . Поскольку 
-- возрастающая функция переменного 
, неравенство
. Значит, 
при . Однако интеграл от большей функции сходится:
Для многих примеров при доказательстве сходимости или расходимости интеграла естественно сравнивать подынтегральную функцию с функцией вида 
. Определим, при каких значениях показателя 
интеграл
Рассмотрим случай 
. Тогда
интеграл сходится и имеет значение 
Рассмотрим случай 
. Тогда
. Значит, при интеграл расходится. Рассмотрим случай 
. Тогда
интеграл расходится. Итак, интеграл сходится (и функция 
определена и равна 
) только при ; при 
интеграл расходится.
(которые, вследствие замечания 4.3, только и имеют значение для сходимости интеграла) дробь 
имеет почти такие же значения, как дробь 
. Действительно, поделив числитель и знаменатель дроби на 
, получим
и 
при больших принимают пренебрежимо малые значения, так что ведущую роль будет играть функция , получающаяся при отбрасывании этих малых слагаемых в числителе и знаменателе. Интеграл от функции сходится: поскольку 
, то получаем сходящийся интеграл
(больших большего корня 
уравнения 
) обе функции, и , принимают положительные значения и
, которую мы уже проверили, следует сходимость интеграла от по промежутку 
. На основании теоремы 4.1 сходится и исходный интеграл.
ведущую роль в знаменателе играет 
, поскольку 
при больших ; значит, если откинуть 1, получим функцию
больше 1, то интеграл
Итак, интеграл от большей функции сходится, откуда следует сходимость исходного интеграла 
в числителе ведущую роль играет , поскольку 
и 
, а в знаменателе ведущая роль принадлежит 
, поскольку 
. Поэтому при больших подынтегральная функция
расходится, поскольку показатель 
меньше 1. (Для интеграла по промежутку 
мы это проверяли выше, а расходимость интеграла по промежутку 
следует из теоремы 4.1.) Значит, для исходного интеграла от функции нужно доказывать расходимость. Проверим выполнение соответствующих условий теоремы 4.2: во-первых, функция , очевидно, определена на и принимает только положительные значения; во-вторых, имеет место неравенство
Итак, условия теоремы 4.2 проверены. На основании этой теоремы (точнее, её второго утверждения) мы можем заключить, что данный нам интеграл 
расходится.
Докажем ещё одно важное свойство несобственного интеграла первого рода.
Доказательство. Представим в виде разности двух неотрицательных функций 
и 
:
.) Согласно определению функций 
и 
, получаем также равенство
и , отсюда сразу получаем, что имеют место неравенства
и 
и 
сходятся, поскольку по предположению сходится интеграл от 
. Вычислим теперь несобственный интеграл от :  | |
 | |
 |
Мы доказали тем самым, что интеграл
сходится. Поскольку 
, то  | |
 |
Но поскольку
, это же неравенство можно написать и для функции 
, получив тем самым, одновременно
и 
сходится, то несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся. Если же несобственный интеграл расходится, а несобственный интеграл сходится, а несобственный интеграл называется условно сходящимся.
Заметим, что доказанная только что теорема означает в точности, что любой абсолютно сходящийся интеграл сходится.
называется мажорантой для функции на множестве 
, лежащем в области определения обеих функций, если
при всех 
, интегрируемой на любом отрезке , существует мажоранта на , причём несобственный интеграл 
сходится. Тогда несобственный интеграл 
тоже сходится, и 
. Доказательство. Поскольку 
и интеграл сходится, то по теореме 4.2 интеграл 
также сходится. Это означает, что интеграл сходится абсолютно, откуда следует сходимость самого интеграла 
, причём
Таким образом, чтобы установить сходимость несобственного интеграла , достаточно найти для на такую мажоранту , что интеграл сходится.
при всех , функция 
служит мажорантой для 
на 
. Интеграл от этой мажоранты сходится и равен 
, как мы проверяли выше, см. пример 4.1. Значит, сходится и данный нам интеграл , причём его значение не превосходит по абсолютной величине:
