‹-- Назад
Свойства производных
Покажем, что множество функций, имеющих производную в некоторой фиксированной точке 
, замкнуто относительно арифметических операций с этими функциями. А именно, докажем следующую теорему, дающую основные правила дифференцирования.
и 
имеют производные в точке 
. Тогда функции 
, 
, 
, а в случае 
также 
имеют производные в точке , которые выражаются следующими формулами: 
Аналогичные утверждения и формулы имеют место также для односторонних производных
(
). Доказательство. Докажем формулу (4.7). Пусть аргументу дано приращение 
; при этом функция получает приращение 
, а функция -- приращение 
. Их сумма 
получит тогда приращение
Докажем теперь формулу (4.9). Пусть снова 
и 
-- приращения функций, соответствующие приращению 
аргумента . Тогда 
, 
и приращением произведения будет
Поэтому, по свойствам пределов,
При этом мы вынесли множители
и за знак предела 
как постоянные, не зависящие от переменного , к которому относится база предела. Докажем теперь формулу (4.10). Заметим, что
При этом мы вынесли за знак предела постоянный (то есть не зависящий от
) множитель 
и воспользовались тем, что 
при 
, что означает непрерывность функции в точке . Но ранее мы доказали, что всякая дифференцируемая в точке функция непрерывна в точке ( теорема 4.1).
через 
, а функцию через 
. Тогда формулы (4.7 - 4.10) можно более коротко записать в виде 
(при 
, и учитывая, что 
(см. формулу (4.5)), мы получаем, что 
Из этого следствия и формулы (4.7) получается следующее свойство производных: если 
и 
-- постоянные и 
-- дифференцируемые в точке функции, то
Если операцию вычисления производной в точке
обозначить 
, то есть 
, то равенство (4.11) означает линейность этой операции дифференцирования в точке: 
Поскольку дифференцируемость функции на интервале или отрезке мы определяли как дифференцируемость в каждой точке этого интервала или отрезка, то тем самым мы показали, что операция 
перехода от функции 
к её производной 
, 
, также обладает свойством линейности:
на функцию в точке, являющейся одним из концов отрезка, понимается как вычисление соответствующей односторонней производной: в левом конце -- правой, а в правом конце -- левой. Эти результаты можно выразить ещё и таким образом. Рассмотрим пространство 
всех функций , определённых на некотором фиксированном интервале 
и имеющих производную 
в точке . Тогда операции умножения на постоянные множители и сложения не выводят из этого пространства, то есть пространство -- это линейное пространство; при этом операция -- это линейная операция из пространства в линейное пространство вещественных чисел:
То же верно и для пространств функций, дифференцируемых на интервале 
(обозначим это пространство 
) или на отрезке 
(обозначим это пространство 
). Оба этих пространства -- линейные (то есть замкнуты относительно применения к функциям из этих пространств операций сложения и умножения на постоянные), а операция дифференцирования действует как линейная операция из этих линейных пространств в линейное пространство функций, непрерывных на данном интервале (обозначим это пространство 
; см. предложение 3.4) или отрезке (обозначим это пространство 
; также см. предложение 3.4), так как в соответствии с теоремой 4.1 производная каждой дифференцируемой функции -- это непрерывная функция 
:
-- это линейная функция, областью определения которой служит пространство всех дифференцируемых функций, а область значений 
лежит в пространстве непрерывных функций.14 Функции, областями определения и областями значения которых служат некоторые пространства функций, в математике принято называть операторами. Таким образом, операция дифференцирования -- это линейный оператор из линейного пространства в линейное пространство и из линейного пространства в линейное пространство .
