‹-- Назад
Существование решения системы линейных уравнений общего вида
Вопрос о том, имеет ли система решение или нет, связан не только с соотношением числа уравнений и числа неизвестных. Например, система из трех уравнений с двумя неизвестными
имеет решение


решений не имеет, то есть является несовместной.
Ответ на вопрос о совместности произвольной системы уравнений (15.1) дает приведенная ниже теорема.








Пусть . Предположим, что
,
. Тогда в матрице
есть линейно независимая система из
столбцов. Среди этих столбцов может быть только один, не принадлежащий матрице
. Тогда подсистема остальных
столбцов, принадлежащих матрице
, должна быть линейно независимой. Следовательно,
. Получили противоречие. Предположение, что
, неверно.


1. Пусть система имеет решение. Покажем, что .
Пусть набор чисел является решением системы. Обозначим через
-ый столбец матрицы
,
. Тогда
, то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы
. Пусть
. Предположим, что
. Тогда по предложению 15.1
. Выберем в
базисный минор
. Он имеет порядок
. Столбец
свободных членов обязан проходить через этот минор, иначе он будет базисным минором матрицы
. Столбец свободных членов в миноре
является линейной комбинацией столбцов матрицы
. В силу свойств определителя ( предложения 14.13, 14.18)
, где
-- определитель, который получается из минора
заменой столбца свободных членов на столбец
. Если столбец
проходил через минор
, то в
, будет два одинаковых столбца и, следовательно,
. Если столбец
не проходил через минор
, то
будет отличаться от минора порядка
матрицы
только порядком столбцов. Так как
, то
. Таким образом,
, что противоречит определению базисного минора. Значит, предположение, что
, неверно.
2. Пусть . Покажем, что система имеет решение. Так как
, то базисный минор
матрицы
является базисным минором матрицы
. Пусть через минор
проходят столбцы
. Тогда по теореме о базисном миноре в матрице
столбец свободных членов является линейной комбинацией указанных столбцов:
Положим








В рассмотренной выше системе (15.4) , и система является совместной. В системе (15.5)
,
, и система является несовместной.

