‹-- Назад
Выпуклость функции
называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на интервале 
, если график функции 
идёт не выше хорды, соединяющей любые две точки графика 
и 
при 
. Пусть 
. Тогда любую точку отрезка 
можно задать как 
, 
, а любую точку хорды -- как 
. Выражение 
задаёт линейную функцию переменного 
, график которой на отрезке 
совпадает с хордой.
То, что график функции идёт не выше хорды, означает, что
при всех
. Аналогично определяется выпуклость вверх: функция называется выпуклой вверх (или вогнутой) на интервале , если график функции идёт не ниже хорды, соединяющей любые две точки графика и при . Это означает, что
при всех
. 
Легко видеть, что функция вогнута на интервале 
в том и только том случае, когда функция 
выпукла на .
. Эта функция выпукла на любом интервале оси 
. Действительно, если интервал не содержит точки 0, то графики и 
на таком интервале совпадают, откуда следует, что неравенство (7.4) выполнено и функция выпукла. (Заметим, что на таком интервале верно и неравенство (7.5), так что одновременно и выпукла, и вогнута на таком интервале.) Если же точка 0 лежит в интервале 
, то 
и 
, и тот факт, что хорда лежит выше графика, геометрически очевиден. 
; её график -- парабола 
. 
-- выпуклая Мы привыкли изображать параболу именно так, что очевидно: хорда идёт выше графика на любом интервале . Подтвердим теперь это свойство формальной выкладкой. Имеем:
 | |
 |
Здесь мы использовали известное неравенство:
при всех 
.18
определена на интервале и 
-- некоторая точка этого интервала. При всех 
определено разностное отношение -- функция 
Тогда функция 
выпукла на интервале в том и только том случае, когда функция 
не убывает на множестве 
.
равна тангенсу угла наклона хорды, одним из концов которой служит фиксированная точка 
, а вторым концом -- переменная точка графика 
. Тем самым, теорема означает, что у выпуклых функций угловые коэффициенты хорд графика не убывают, где бы ни был фиксирован один из концов хорды. 
Заметим также, что функция имеет следующее свойство:
Действительно,
 |
Доказательство теоремы 7.9. Выберем любые две точки 
. Предположим, что 
(случаи иного расположения точек 
рассматриваются аналогично). Поскольку 
, то 
при некотором 
. Нетрудно видеть, что тогда 
и 
. Поэтому из выпуклости функции следует, что
, получаем: 
из обеих частей неравенства. Получим, после раскрытия скобок в правой части и приведения подобных членов: 
и и получим: 
-- неубывающая. Доказательство того, что из неубывания функции следует выпуклость функции , можно провести, если проделать все преобразования в обратном порядке.
функция вогнута на интервале тогда и только тогда, когда при любом 
функция не возрастает на множестве .
Доказанная теорема содержит хотя и важный, но всё же вспомогательный результат. На её основании мы получим следующее утверждение, которое уже гораздо удобнее применять на практике для исследования выпуклости.
имеет на производную 
. Функция выпукла на тогда и только тогда, когда производная не убывает на . Доказательство. Пусть -- выпуклая функция. Возьмём точки 
на интервале так, чтобы они следовали в таком порядке: 
. По предыдущей теореме, функции 
и 
не убывают. Пользуясь также свойством (7.6), получаем цепочку:
, или 
, а затем в правой части при 
. Так как, по предположению, производная в точках 
и 
существует, то односторонние пределы существуют и равны производным в соответствующих точках, то есть 
. Ввиду того, что точки и 
можно было выбирать произвольно, это означает, что не убывает на 
. Пусть теперь производная -- неубывающая функция. Фиксируем точку 
и найдём производную функции 
при 
. Она равна
в виде 
-- некоторая точка, лежащая между 
и . Заметим, что при этом знак разности 
-- тот же, что у разности 
. Получаем, что 
-- неубывающая функция, то 
при 
и, следовательно, при 
и 
при 
и, следовательно, при 
. В любом случае отношение неотрицательно, то есть 
. По теореме 7.2 отсюда следует, что функция не убывает, а по теореме 7.9 -- что функция выпукла.
дифференцируемая функция вогнута на интервале тогда и только тогда, когда её производная не возрастает.
Если функция имеет во всех точках интервала вторую производную 
, то для исследования выпуклости можно воспользоваться следующим утверждением, которое вытекает из доказанной теоремы.
функция имеет вторую производную . Функция выпукла на тогда и только тогда, когда 
при всех 
, и вогнута тогда и только тогда, когда 
при всех . Доказательство. Производная не убывает на в том и только том случае, когда при всех , и не возрастает в на в том и только том случае, когда при всех . Поэтому утверждение теоремы сразу следует из теоремы 7.10 и замечания 7.9.
Именно эту теорему чаще всего применяют для исследования выпуклости и вогнутости функции на заданном интервале, а также для нахождения интервалов выпуклости и интервалов вогнутости данной функции.
на интервалах выпуклости и на интервалах вогнутости
, то есть 
существует и равна 0) и 
. (Также проверьте, что производная в точке 0 существует и равна 0.) Итак, при всех 
; отсюда следует, что функция выпукла на всей оси. 
выпукла на всей оси
. Её производная равна 
; вторая производная 
. Чтобы найти интервалы выпуклости, решим неравенство , то есть 
. Решением является объединение лучей: 
. Значит, на интервалах 
и 
функция выпукла. Для нахождения интервала вогнутости нужно решить неравенство , то есть 
. Решением является отрезок 
. Значит, на интервале 
функция вогнута.
Выпуклые функции обладают следующим весьма важным свойством: они могут иметь не более одного локального минимума на интервале выпуклости. А именно, верна следующая теорема.
-- выпуклая на функция и 
-- точка локального минимума функции . Тогда 
Доказательство теоремы. Пусть 
и -- две различные точки локального минимума функции , причём и 
(случай 
разбирается аналогично). Положим 
и рассмотрим линейную функцию , на графике которой лежит хорда, соединяющая точки и . Так как функция выпукла, то 
при всех , то есть при всех 
. Это неравенство верно, в том числе, и при любом 
из некоторой правой окрестности точки , то есть при 
, 
. Тем самым получаем для таких :
-- точка локального минимума (из того, что -- точка локального минимума, следует, что при достаточно малом 
при 
имеет место неравенство 
). Значит, предположение о том, что , не может быть верным. Точно так же доказывается, что неверно и предположение о том, что . Следовательно, 
, то есть во всех точках локального экстремума (если их не одна) функция принимает одно и то же значение.
Тем самым, если о функции известно, что она выпукла, и мы нашли некоторую точку локального минимума , то значение в этой точке -- это минимальное значение функции на всём рассматриваемом интервале: 
. Если нас интересует лишь это минимальное значение, а не полный набор точек минимума, то мы можем других точек локального минимума не искать.
если -- вогнутая функция на интервале и -- точки локального максимума, то
-- выпуклая функция и что 
.
достаточно для наличия локального минимума в стационарной точке функции . Действительно, из условия 
следует, что функция выпукла, то есть её график "провисает вниз" в окрестности точки , в которой график имеет горизонтальную касательную. 
Аналогично, график гладкой функции имеет выпуклость вверх в окрестности точки локального максимума. Поэтому неравенство 
даёт достаточное условие локального максимума.
Изучим теперь связь выпуклости и вогнутости функции с взаимным расположением графика функции и касательных, проведённых к этому графику.
имеет на интервале производную . Функция выпукла на тогда и только тогда, когда график лежит (при ) не ниже любой касательной 
, проведённой при любом , то есть выполняется неравенство 
. 
Доказательство. Применяя формулу конечных приращений, получаем:
лежит между и . Но по теореме 7.10 производная выпуклой функции не убывает, так что 
при 
и 
при 
. В любом случае получаем, что произведение 
неотрицательно, откуда 
. Отсюда следует неравенство из утверждения теоремы.
дифференцируемая функция вогнута на интервале тогда и только тогда, когда её график идёт не выше любой касательной: 
.
называется такая точка , которая разделяет два интервала 
и 
, на одном из которых функция является выпуклой, а на другом -- вогнутой. 
В случае, если вторая производная непрерывна, в точке перегиба непременно должно выполняться равенство 
, поскольку, согласно теореме 7.11, должна менять знак при переходе через точку . Верно даже несколько более сильное утверждение:
-- точка перегиба функции , причём существует 
. Тогда . Доказательство. Из существования следует, что существует при из некоторого интервала 
, окружающего точку . По предположению, при достаточно малом , на интервалах 
и 
направление выпуклости функции разное; пусть для определённости выпукла на и вогнута на . Тогда функция не убывает на и не возрастает на , согласно теореме 7.10 и замечанию 7.9. Значит, 
при 
и 
при . Переходя в этих двух неравенствах к пределу при базе 
и 
соответственно и замечая, что оба предела равны , получаем, что одновременно 
и 
. Значит, , что и требовалось доказать.
Заметим однако, что не любая точка , такая что , обязана быть точкой перегиба: при переходе через такую точку функция может и не сменить знак, тогда перегиба в точке нет.
; её вторая производная равна 
и равняется 0 при . Однако поскольку 
при всех , функция выпукла на всей оси , согласно теореме 7.11. Точка 0 не разделяет здесь интервалы разного направления выпуклости. 
. Тогда 
и при 
и 
при 
. Точка 
(в которой 
) разделяет интервал вогнутости 
и интервал выпуклости 
. Значит, -- точка перегиба функции . 
Тогда 
и 
(при вторая производная не существует). Тогда 
при и 
при . Точка (в которой 
не существует) разделяет интервал вогнутости и интервал выпуклости . Значит, -- точка перегиба. 
. Тогда 
(проверьте, что это так!). При вторая производная (как и первая) не существует. Однако снова при и при . Значит, -- точка перегиба. 
-- линейная функция (
), то любая точка есть её точка перегиба. Проверьте, что любая точка (в том числе ) есть точка перегиба функции .
Итак, точки перегиба содержатся в списке тех точек , в которых либо , либо не существует. Однако такая точка может и не оказаться точкой перегиба; для выяснения нужно исследовать поведение функции слева и справа от "подозрительной" точки .
