mathserfer.narod.ru

Теория по высшей математике

‹-- Назад

Смешанное произведение

Смешанное произведение будем обозначать abc.

        Доказательство.     По определению . В силу свойства 8 скалярного произведения ( теорема 10.2) тогда и только тогда, когда векторы a и ортогональны. Если , то вектор ортогонален плоскости векторов b,c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b,c. Если , то в силу  предложения 10.19 векторы b и c коллинеарны, но тогда векторы a,b,c компланарны.     

Следующее предложение показывает геометрический смысл смешанного произведения.

        Доказательство.     Пусть . По  предложению 10.22 равен площади параллелограмма, сторонами которого служат векторы b,c (рис. 10.26, 10.27).

По свойству 7 скалярного произведения ( теорема 10.2)

Пусть  -- высота параллелепипеда (рис. 10.26, 10.27). Если a,b,c -- правая тройка векторов, то (рис. 10.26), если a,b,c -- левая тройка, то . Так как  -- объем параллелепипеда, то из формулы (10.7) получим в случае правой тройки и в случае левой тройки сомножителей.     

Заметим, что если тройка векторов a,b,c является правой, то тройки c,a,b и b,c,a также будут правыми, а тройки b,a,c, c,b,a и a,c,b будут левыми тройками векторов.

Так как объем параллелепипеда не зависит от того, в каком порядке перечисляются его стороны, то

         Линейность операции по какому-то аргументу означает выполнение двух условий:

1) если аргумент умножить на число, то и результат умножится на это число, то есть числовой множитель аргумента можно вынести за знак операции;

2) если аргумент заменить суммой двух слагаемых, то результат будет равен сумме результатов для каждого слагаемого.

Со свойством линейности мы уже встречались при изучении скалярного произведения векторов (свойства 2,3  теорема 10.2), векторного произведения ( предложения 10.20, 10.21), в математическом анализе свойством линейности обладают операции нахождения предела, дифференцирования, интегрирования.

В частности, утверждение, что смешанное произведение линейно по второму аргументу, означает:

1) ;

2) .

        Доказательство  предложения 10.28.     Соотношения и следуют из того, что abc является скалярным произведением a на и из линейности скалярного произведения (свойства 2,3,  теорема 10.2).

Для второго аргумента: в силу равенства (10.8) выполнено , поэтому

Для третьего аргумента свойство линейности доказывается аналогично.     

Теперь подготовлен аппарат для доказательства  предложения 10.21.

        Доказательство  предложения 10.21.    Выберем в пространстве правый ортонормированный базис i,j,k. Пусть , , , , , . Нам нужно доказать, что , то есть что выполняются равенства: , , .

В силу  предложения 10.16

По свойству линейности смешанного произведения

Аналогично доказываются равенства , .     

        Доказательство.     Построим параллелепипед, три ребра которого совпадают с тремя ребрами пирамиды, выходящими из одной точки (рис. 10.28).

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле , а объем пирамиды -- . Так как , то .

По  предложению 10.27 получим, что , а .     

Получим формулу для нахождения смешанного произведения по координатам сомножителей.

        Доказательство.     По  предложению 10.25 находим координаты вектора :

По  теореме 10.3 находим скалярное произведение вектора a на вектор :

Правая часть этого равенства совпадает с определением определителя . По определению , формула (10.9) доказана.     

 Предложения 10.26 и 10.30 позволяют устанавливать, компланарны ли три вектора, заданные своими координатами или, другими словами, является ли система из трех векторов линейно зависимой ( предложение 10.10), или образуют ли базис эти три вектора.