‹-- Назад
Первый и второй замечательные пределы
Доказательство. Рассмотрим два односторонних предела 
и 
и докажем, что каждый из них равен 1. Тогда по теореме 2.1 двусторонний предел 
также будет равняться 1.
Итак, пусть 
(этот интервал -- одно из окончаний базы 
). В тригонометрическом круге (радиуса 
) с центром 
построим центральный угол, равный 
, и проведём вертикальную касательную в точке 
пересечения горизонтальной оси с окружностью (
). Обозначим точку пересечения луча с углом наклона с окружностью буквой 
, а с вертикальной касательной -- буквой 
; через 
обозначим проекцию точки на горизонтальную ось.
Пусть 
-- площадь треугольника 
, 
-- площадь кругового сектора , а 
-- площадь треугольника 
. Тогда очевидно следующее неравенство:
равна 
, а вертикальная -- 
(это высота треугольника ), так что 
. Площадь центрального сектора круга радиуса 
с центральным углом равна 
, так что 
. Из треугольника находим, что 
. Поэтому 
Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде 
) так: 
предел 
в левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме "о двух милиционерах" предел средней части 
также будет равен 1. Итак, осталось доказать, что 
. Сперва заметим, что 
, так как равняется длине дуги окружности 
, которая, очевидно, длиннее хорды 
. Применяя теорему "о двух милиционерах" к неравенству
, получаем, что 
Простая замена переменной
показывает, что и 
. Теперь заметим, что 
. Применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем: 
Тем самым показано, что
; при этом база перейдёт в базу 
(что означает, что если 
, то 
). Значит, 
(
-- нечётная функция), и поэтому 
Доказанная теорема означает, что график функции 
выглядит так:
Приведём примеры применения первого замечательного предела для вычисления других родственных пределов.
. Очевидно, что
-- это первый замечательный предел, равный 1 (и, следовательно, не равный 0). Числитель правой части, равный 1, имеет предел 1. Значит, по теореме о пределе отношения, 
. Сделаем замену переменного: пусть 
. Тогда 
и база 
переходит в базу 
. После замены получаем
. Очевидно, что
был вычислен в предыдущем примере; он равен 1. Числитель правой части имеет предел 1. Применяя теорему о пределе отношения, получаем 
. Преобразуем функцию под знаком предела следующим образом:
и 
база переходит в базу 
и , так что 
Число 
, заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число часто называют основанием натуральных логарифмов.
Более подробное изучение числа показывает, что -- иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы:
Для доказательства теоремы 2.15 нам понадобится следующая лемма; формула, в ней полученная, называется формулой бинома Ньютона.
Заметим, что в дроби
, в третьем справа слагаемом -- равный 
, и т. д. Таким образом, коэффициенты в слагаемых, стоящих на одинаковых местах, считая слева и справа от края формулы, совпадают. Доказательство. Доказывать утверждение леммы будем по индукции по параметру . При 
формула 2.2, очевидно, верна:
и 
формула 2.2 также хорошо известна: 
, и докажем, что тогда она верна и при 
. Действительно, 
При этом в квадратных скобках получается:
 | |
 | |
 |
и так далее, то есть как раз то, что должно получиться в качестве коэффициентов формулы бинома Ньютона при
. Доказательство теоремы 2.15. Рассмотрим последовательность 
и применим к 
формулу бинома Ньютона при 
и 
. Получим
Покажем, что последовательность
ограничена сверху. Для этого заменим все дроби 
, 
, ..., 
на 1. Все эти дроби меньше 1, так что сумма в правой части формулы (Доказательство теоремы 2.15) увеличится: 
в знаменателях этих слагаемых на 2; от этого правая часть ещё увеличится. Получим: 
Покажем теперь, что последовательность не убывает. Действительно, запишем формулу (Доказательство теоремы 2.15) в виде
В аналогичной формуле, написанной для
вместо , во-первых, увеличится каждое из выражений в круглых скобках (так как вычитаемое уменьшится) и, значит, увеличатся все слагаемые, содержащие такие скобки. Во-вторых, число слагаемых увеличится на одно: добавится положительное слагаемое 
члены последовательности строго возрастают: 
при всех 
. Применим теперь к возрастающей ограниченной сверху последовательности теорему о пределе монотонной ограниченной функции ( теорема 2.13) и получим, что существует предел
не больше постоянной 3, ограничивающей последовательность. Осталось заметить, что 
. Так как все последующие члены ещё больше, то и предел , на основании теоремы о переходе к пределу в неравенстве ( следствие 2.7), не меньше числа 
, что и завершает доказательство теоремы.
однако строгое доказательство достаточно тяжело, и мы его здесь пропускаем.
В формуле (2.5) можно сделать замену 
, при этом база 
перейдёт в базу 
, и мы получим
Формулы в этих замечании и упражнении представляют собою другую форму записи второго замечательного предела. Мы сохраним название второй замечательный предел за всеми этими формулами.
. Здесь параметр 
-- фиксированное число. При вычислении предела он будет рассматриваться как постоянная. Сделаем замену 
, тогда 
и 
. Поэтому
. Более подробно понятие непрерывности функций мы будем изучать ниже, в разделе Использование непрерывности функций при вычислении пределов.) Полученная формула даёт нам возможность выразить экспоненциальную функцию 
как некоторый предел. С помощью похожей замены вычисляются пределы функций вида 
в случае, когда основание степени 
при некоторой базе стремится к 1, а показатель степени 
-- к бесконечности (то есть является бесконечно большой функцией при данной базе; о бесконечно больших см. ниже, в разделе Бесконечно большие величины и бесконечные пределы). Такие выражения, а также и связанные с ними пределы, называются неопределённостями вида 
. О неопределённостях других видов пойдёт речь ниже, после примера 2.29.
Обратим внимание читателя, что -- это лишь условная запись: 1 здесь указывает, что основание степени стремится к 1 (и вовсе не обязательно равно 1); в "показателе степени" стоит вообще не число, а символ бесконечности. Поэтому было бы грубой ошибкой, встретив такую условную запись (или написав её), сделать вывод о том, что единица, мол, в любой степени даёт единицу, и поэтому ответ равен единице. С условными символами в этой записи нельзя действовать так же, как с числами. Предыдущий пример, в котором основание степени 
стремится к 1, а показатель степени к 
, даёт как раз неопределённость вида . Однако значение предела равно , а этот результат может быть любым положительным числом, в зависимости от того, какое значение 
взято.
Вот ещё один пример на раскрытие неопределённости вида .
. Здесь основание степени имеет предел
. Поэтому можно применять тот же приём сведения ко второму замечательному пределу, что в предыдущем примере. Для начала найдём, что следует взять за бесконечно малую величину 
. Поскольку основание степени стремится к 1, то оно равно 
, где 
(см. теорему 2.4). Значит, 
и при стремится к числу (это второй замечательный предел), а предел показателя степени мы найдём отдельно: 
и 
, то 
. Это следует из непрерывности показательной и логарифмической функций, если учесть, что 
.)
вычисляются с помощью сведения ко второму замечательному пределу. Ещё раз напомним, что так надо поступать лишь в случае, когда основание степени при данной базе стремится к 1, а показатель степени -- к бесконечности. В иных ситуациях можно бывает для вычисления предела обойтись более простыми рассуждениями. Например, при нахождении предела 
, так что получается формально 
. Это выражение не является неопределённостью (в отличие от выражения ), так как основание степени при достаточно больших близко к (и заведомо меньше, скажем, 
) и при возведении в неограниченно увеличивающуюся степень будет меньше 
и, следовательно, будет стремиться к 0. Так что 
